类球面

类球面是一种二次曲面。二维的椭圆有两个主轴，称为长轴与短轴。在三维空间里，将一个椭圆绕着其任何一主轴旋转，则可得到一个类球面。

• 假若，这旋转主轴是长轴，则这个类球面为长球面。例如，英式足球里所用的橄榄球是长球形状。
• 假若，这旋转主轴是短轴，则这个类球面为扁球面。例如，地球在北极与南极稍微有点扁平，在赤道又有点凸涨。所以，地球是扁球形状。
• 假若，生成的椭圆是圆圈，则这个类球面为完全对称的圆球面。

椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面

扁球面		长球面

方程式

对类球面半轴的赋值。如果c < a则为扁球面（左图）而如果c > a则为长球面（右图）。

用另外一种方法来描述，类球面是一种椭球面。采用直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$，椭球面可以表达为

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$；

其中，${\displaystyle a\,\!}$与${\displaystyle b\,\!}$分别是椭球面在x-轴与y-轴的赤道半径，${\displaystyle c\,\!}$是椭球面在z-轴的极半径，这三个正值实数的半径决定了椭球面的形状。 以z-轴为旋转轴的类球面${\displaystyle a=b\,}$，它的方程为：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$。

• 假若，三个半径都相等，则这椭球面是圆球面：

${\displaystyle a=c\,\!}$。

• 假若，类球面的赤道半径小于极半径，则这是类球面是长球面：

${\displaystyle a<c\,\!}$。

• 假若，类球面的赤道半径大于极半径，则这是类球面是扁球面：

${\displaystyle a>c\,\!}$。

性质

面积

扁球面c < a，它的表面积为：

${\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\quad }$其中${\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$。

扁球面是半长轴为a而半短轴为c的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作为离心率^[1]。

长球面c > a，它的表面积为：

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad }$其中${\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}$。

长球面是半长轴为c而半短轴为a的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作离心率^[2]。

体积

类球的体积是${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}c\,\!}$。

曲率

假若，一个类球面被参数化为

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\ \lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,\ a\cos \beta \sin \lambda ,\ b\sin \beta )\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle \beta \,\!}$是参数纬度（parametric latitude），${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\beta <{\frac {\pi }{2}}\,\!}$，${\displaystyle \lambda \,\!}$是经度，${\displaystyle -\pi <\lambda <+\pi \,\!}$。

那么，类球面的高斯曲率（Gaussian curvature）是

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={b^{2} \over (a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}}\,\!}$。

类球面的平均曲率（mean curvature）是

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={b(2a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}\,\!}$。

对于类球面，这两种曲率永远是正值的。所以，类球面的每一点都是椭圆的。

参阅

• 皮埃尔·莫佩尔蒂
• 椭球体
• 卵形体（ovoid）
• 长球面坐标系
• 扁球面坐标系

引用

1. A derivation of this result may be found at Weisstein, Eric W. (编). Oblate Spheroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [24 June 2014]. （原始内容存档于2018-01-24） （英语）.
2. A derivation of this result may be found at Weisstein, Eric W. (编). Prolate Spheroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [24 June 2014]. （原始内容存档于2019-10-21） （英语）.