逆矩阵

逆矩阵（inverse matrix），又称乘法反方阵、反矩阵。在线性代数中，给定一个n 阶方阵${\displaystyle \mathbf {A} }$，若存在一n 阶方阵${\displaystyle \mathbf {B} }$，使得${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}}$，其中${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$为n 阶单位矩阵，则称${\displaystyle \mathbf {A} }$是可逆的，且${\displaystyle \mathbf {B} }$是${\displaystyle \mathbf {A} }$的逆矩阵，记作${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$。

提示：此条目页的主题不是转置矩阵。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

只有方阵（n×n 的矩阵）才可能有逆矩阵。若方阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的逆矩阵存在，则称${\displaystyle \mathbf {A} }$为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似，逆矩阵一般用于求解联立方程组。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵${\displaystyle A}$可逆，则${\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}}$其中${\displaystyle A^{*}=\mathrm {adj} (A)}$是${\displaystyle A}$的伴随矩阵，${\displaystyle |A|=\mathrm {det} (A)}$是${\displaystyle A}$的行列式。

注意：${\displaystyle A^{*}}$中元素的排列特点是${\displaystyle A^{*}}$的第${\displaystyle k}$列元素是${\displaystyle A}$的第${\displaystyle k}$行元素的代数余子式。要求得${\displaystyle A^{*}}$即为求解${\displaystyle A}$的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$互逆，则${\displaystyle AB=BA=I}$。由条件${\displaystyle AB=BA}$以及矩阵乘法的定义可知，矩阵${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$都是方阵。再由条件${\displaystyle AB=I}$以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为${\displaystyle 0}$。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是${\displaystyle n\times n}$方阵，且${\displaystyle rank(A)=rank(B)=n}$换而言之, ${\textstyle A}$与${\textstyle B}$均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵${\displaystyle A}$施以初等行变换（初等列变换）就相当于在${\displaystyle A}$的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对${\displaystyle A}$和${\displaystyle I}$施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵${\displaystyle A}$被变为${\displaystyle I}$时，${\displaystyle I}$就被变为${\displaystyle A}$的逆阵${\displaystyle B}$。

性质

1. ${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$
2. ${\displaystyle (\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}}$
3. ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$
4. ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$（${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$为A的转置）
5. ${\displaystyle \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}$（det为行列式）

广义逆阵

主条目：广义逆阵

广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E·H·摩尔和罗杰·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见

• 矩阵
• 广义逆阵
• 除法