达布定理

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在实分析中，达布定理（英语：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（某个实值函数的导数）都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即是说，若f为可导函数，则对任意区间I，f′(I) 仍为区间。

当函数 f 是一阶连续可导函数（C¹）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时，达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。

历史

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：

${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ 当${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle h(0)=0}$ 当${\displaystyle x=0}$

其导数在${\displaystyle x=0}$处并不连续。

内容

设${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$为闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的实值可导函数，那么对介于${\displaystyle f'(a)}$和${\displaystyle f'(b)}$之间的任意${\displaystyle t}$，存在${\displaystyle x}$属于${\displaystyle [a,b]}$使得${\displaystyle f'(x)=t}$。

证明

不失一般性，我们可假设${\displaystyle f\,'_{+}(a)>t>f\,'_{-}(b)}$。又设${\displaystyle g(x):=f(x)-tx}$，则 ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$。只需找到${\displaystyle g'}$在${\displaystyle [a,b]}$上的一个零点即可。

由于${\displaystyle g}$是${\displaystyle [a,b]}$上的连续函数，由极值定理，${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上达到极大值。由于${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$，极大值不在${\displaystyle a}$处取到。同理，由于${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$，极大值也不在b处取到。设${\displaystyle x}$为取到极大值的点，这时，${\displaystyle g\,'(x)=0}$。于是定理得证。

参见

• 让·加斯东·达布
• 介值定理

参考资料

• 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
• 潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

外部链接

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