简谐运动

简谐运动，或称简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置。

如果用${\displaystyle F}$表示物体受到的回复力，用${\displaystyle x}$表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律，${\displaystyle F}$和${\displaystyle x}$成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

${\displaystyle F=-kx}$^[1]

式中的${\displaystyle k}$是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律“${\displaystyle F=ma}$”当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系统的机械能守恒。

动力学方程

同一简谐运动在实空间和相空间的不同显示。轨道（英语：Orbit (dynamics)）是周期性的。（为使两图一致，这里的速度轴和位置轴与标准惯例相反）

对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到

${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}}$

回复力又可表示为${\displaystyle F=-kx}$

所以有${\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}$

求解上述方程，得到的解含有正弦函数

${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}$，其中

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}$

${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}$

${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle c_{2}}$是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：${\displaystyle A}$是振幅，${\displaystyle \omega =2\pi f}$是角频率， 加速度可以作为时间的函数得到

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}$

${\displaystyle v_{max}=\omega A}$（在平衡位置）

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}$

${\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A}$（在最大位移处）

加速度也可以通过位移的函数得到

${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!}$。

因为 ${\displaystyle \omega =2\pi f}$，

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$，

又因为周期 ${\displaystyle T={\frac {1}{f}}}$，所以：${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$。

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。^[1]:163

线性回复力

在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

弹簧

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧弹力系数和振子质量有关，与振幅大小无关。

振幅、周期和频率

1.振幅

振幅${\displaystyle A}$代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于${\displaystyle {\sqrt {E}}}$，即它的平方正比于系统的机械能E。

2.角频率

角频率：${\displaystyle \omega =2\pi f}$, 频率f为周期T的倒数。

其中${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$。推导过程：

${\displaystyle x=A\cos({\omega t+\phi })}$

对于时间t求导， ${\displaystyle v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })}$

再关于时间t求导，${\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })}$

由牛顿第二定律得${\displaystyle a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}}$

两式联立得${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$。

下图为简谐运动的图像，表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。是一条正弦或余弦曲线。

这个运动是假设在没有能量损失引致阻尼的情况而发生。振幅描绘了振动的强弱，是标量，大小为最大位移的大小，质点在一次全振动过程中通过的路程等于4倍振幅。完成一次全振动的时间叫周期，单位时间内完成全振动的次数叫频率，周期和频率描绘了振动的快慢。

简谐振动的判定

1. 如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力

   ${\displaystyle F=-kx}$

   即合外力的大小与位移成正比且方向相反，那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中，比例系数${\displaystyle k}$即为弹簧系数，或称倔强系数（劲度系数）。
2. 如果一个质点的运动方程有如下形式

   ${\displaystyle x=A\cos {(\omega t+\phi )}}$

   即，质点的位移随时间的变化是一个简谐函数，显然此质点的运动为简谐振动。
3. 如果一个质点的动力学方程可以写成

   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}x=0}$

   其中${\displaystyle \omega ^{2}}$为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动
4. 如果质点在运动过程中具有形式为${\displaystyle ({\frac {1}{2}}kx^{2})}$的弹力势能，且

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=E}$

   则质点的运动为简谐振动

应该说明：

1. 以上各判定方法是完全等价的；
2. 以上各表达式中的${\displaystyle x}$既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。

例子

弹簧

把质量为${\displaystyle M}$的物体悬挂在弹力常数为k的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为：

${\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}$

如果要计算它的周期，可以用以下的公式：

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}}$。

总能量是常数，由方程${\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}$给出。

等速率圆周运动

等速率圆周运动的一维投影是简谐运动。如果物体以${\displaystyle \omega }$的角速率沿着半径为${\displaystyle R}$的圆移动，则它在x轴、y轴或任意一条直径上的投影会是简谐运动，其振幅为${\displaystyle R}$，角速率为${\displaystyle \omega }$。

单摆

在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为${\displaystyle \ell }$，重力加速度为${\displaystyle g}$，则周期为：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

这个公式仅当偏角很小时才成立，因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的：

${\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }$

其中I是转动惯量，在这种情况下${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$。当${\displaystyle \theta }$很小时，${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$，因此上式变为：

${\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }$

这使得角加速度与${\displaystyle \theta }$成正比，满足了简谐运动的定义。单摆的回复力是摆球的重力沿运动方向的分力。^[1]:165

参阅

• 物理主题

• 平移运动
• 匀速运动
• 平抛运动
• 曲线运动

参考资料

1. 赵志敏. 高中教程。基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月. ISBN 978-7-309-08251-7 （中文（中国大陆））.

外部链接

• 弹簧震动Java模拟 （页面存档备份，存于互联网档案馆）