计算群论

在数学中，计算群论是一种用计算机研究群的理论，它涉及设计和分析算法和数据结构以计算有关群的信息。人们研究这个理论目的是对于许多“有趣”的群来说，比如大多数散在群，手工计算群的相关信息是不切实际的。即使是比较简单的有限群的 中心 (群论)和正规子群，使用枚举算法也比逻辑推导快速很多。

计算群论中的重要算法包括：

• 用于查找置换群阶的Schreier–Sims 算法。
• 用于陪集枚举的Todd–Coxeter 算法和Knuth–Bendix 算法。
• 用于查找组中随机元素的乘积替换算法。

计算群论的两个重要计算机代数系统(CAS) 是GAP和Magma （页面存档备份，存于互联网档案馆） 。从历史上看，其他系统如 CAS（特征理论）和Cayley （Magma 的前身）也很重要。

计算群论的主要研究包括:

• 小于 2000 阶的所有有限群的完整枚举
• 计算所有散在群的群表示

最近的发展

数学家最近使用计算群论来简化有限单群分类的冗长证明。比如使用范畴论的理论方法实现迈克尔·阿什巴赫在Fusion Theory提出的简化计划，现在的具体方法是通过MAGMA算法解决较小阶的p群问题。^[1]

有趣的网站

• GroupNames, 这个网站有小于240阶的群的表示和对应的GAP和Magma的代码。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献

• Derek F. Holt, Bettina Eick, Eamonn A. O'Brien, "Handbook of computational group theory", Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2005.  ISBN 1-58488-372-3

• Charles C. Sims, "Computation with Finitely-presented Groups", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 48, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.  ISBN 0-521-43213-8
• Ákos Seress, "Permutation group algorithms", Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 152, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.  ISBN 0-521-66103-X.

1. Parker C, Semeraro J. Algorithms for fusion systems with applications to 𝑝-groups of small order. Mathematics of Computation. 2021, (2415-2461): 90(331).