默比乌斯反演公式

“莫比乌斯反演”重定向至此。关于几何上的变换，请见“莫比乌斯变换”。

定义

假设对于数论函数 ${\displaystyle f(n)}$ 和 ${\displaystyle F(n)}$，有以下关系式：

${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}$

则将其默比乌斯反转公式定义为：

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)}$

这里 ${\displaystyle \mu }$ 为默比乌斯函数，定义为：

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1\\(-1)^{k}\\0\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle n=1\,}$
	若${\displaystyle n\,}$无平方数因数，且${\displaystyle n=p_{1}p_{2}......p_{k}\,}$
	若${\displaystyle n\,}$有大于${\displaystyle 1\,}$的平方数因数

一般形式

设${\displaystyle F(x)}$及${\displaystyle G(x)}$为定义在${\displaystyle [1,\infty )}$上的复值函数并且

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)}$

则

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}$

证明

我们有 ${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\left[{\frac {n}{d}}=1\right]f(d)}$，其中${\displaystyle [n=1]}$在${\displaystyle n=1}$时为 1，其余点为 0。

而根据莫比乌斯函数的性质，${\displaystyle [n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)}$，代入得到${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)}$。

由于${\displaystyle \sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}}$的限制条件其实就是${\displaystyle md\mid n}$，故等式可以写成：${\displaystyle f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})}$。

参见

• 默比乌斯函数