芬斯勒流形

芬斯勒流形(Finsler manifold)或芬斯勒几何(Finsler geometry)由瑞士数学家保罗·芬斯勒(Paul Finsler)在1918年的博士论文中提出。芬斯勒几何可以说是黎曼几何在取消掉二次型限制后的版本，与变分学密切相关。芬斯勒几何分为实数芬斯勒几何与复数芬斯勒几何，且在生物、工程、物理等领域有广泛应用。

芬斯勒流形是一个在每个切空间有巴拿赫(Banach)范数的微分流形，该巴拿赫范数是位置的光滑函数并满足以下条件：

对M中的每点x，对切空间${\displaystyle T_{x}M}$中的每一向量v，如下函数${\displaystyle L:T_{x}M\to R}$的二阶导数

${\displaystyle L(\mathbf {w} )={\frac {1}{2}}\|w\|^{2}}$

在v是正定的。

黎曼流形(但不包括伪黎曼流形)是芬斯勒流形在嘉当张量处处为零时的特例。

可微曲线γ的长度由下式给出

${\displaystyle \int \left\|{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\|dt}$

注意这是一个重参数化不变量，测地线是长度在变分时取极值的曲线。