自反关系

自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称为自反的，也被称为具有自反性。自反关系的一个例子是关于实数集合的“等于”关系，因为每个实数都等于它自己。对称性、传递性以及自反性是定义等价关系的三个属性。

定义

对于集合X上的二元关系R，若满足：取X里任一元素a，且满足对于所有a皆存在(a,a)在R集合中，则称二元关系R是自反的，或称R具有自反性，或称R为自反关系。

相关概念

${\displaystyle \forall a\in X}$，a = a，在一些系统中称为相等公理。

一个反自反（irreflexive, anti-reflexive）的关系，是在一个集合中没有元素与自身相关的二元关系。例如实数上的“大于”关系（x> y）。请注意，没有自反的各种关系，并不全都是反自反的；有些关系中，部分元素与自己相关，而部分不是。例如，“x和y的乘积是偶数”的二元关系在偶数集上是自反的，在奇数集上是反自反的，在自然数集上既不是自反，也不是反自反。

关于集合S上的一个关系，如果与某个元素相关的每个元素也与它自己有关，形式上就称为准自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一个例子是关于实数序列集合的“具有相同极限”的关系：并不是每个序列都有一个极限，因此这个关系不是自反的，但是如果一个序列与某个序列具有相同的极限，具有与其本身相同的限制。

S上二元关系的自反闭包是S上最小的自反关系，它是〜的超集。等价地，它是S与S上的同一性关系的联合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反闭包是x≤y。

在集合S上的二元关系的自反性约化或反自反核是最小的关系≆，使得≆共享与〜相同的自反闭包。它可以被看作是自反封闭的反面。 它相当于S上关于〜的形式关系的补充，形式上是：（≆）=（〜）\（=）。也就是说，除了x〜x是真的，它相当于〜。例如，x≤y的自反减少是x <y。

特殊的自反关系

满足传递性的自反关系称为预序关系。满足反对称性的预序关系称为偏序关系。满足对称性的预序关系称为等价关系。

举例

自反关系举例：

• 等于
• 是……的子集（集合的包含）
• 小于等于、大于等于
• 整除

n元素集合之上的关系

一个“n”-元素集合上，自反关系的数目是2ⁿ²⁻ⁿ.^[1]

n元集上各种二元关系的数目

n	全部	递移	自反	预序	偏序	全预序（英语：Strict weak ordering）	全序	等价
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n			Σn k=0  k! S（英语：Stirling numbers of the second kind）(n, k)	n!	Σn k=0  S（英语：Stirling numbers of the second kind）(n, k)
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

参考文献

1. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763