循环单位

在趣味数学中，循环单位是由1组成的数如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler称这类数为repunit，表示repeated unit。

对于n≥1，循环单位可以这样定义：

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad \,\!}$

亦可以用递归的方法：

${\displaystyle R_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle R_{n}=bR_{n-1}+1\,\!}$

其中${\displaystyle b\,\!}$是进位制的底。在这篇文章，循环单位都是指十进制中的。

循环单位的平方

${\displaystyle R_{1}\,\!}$至${\displaystyle R_{b}\,\!}$的循环单位，${\displaystyle R_{n}\,\!}$的平方有一个很有趣的性质，它们都会得出由1到${\displaystyle n\,\!}$的数字顺序组成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原则于十进制，只在${\displaystyle n<10\,\!}$的情况下才能生效，因为在${\displaystyle n>9\,\!}$的情况下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$的平方已经不能组成回文数。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

虽然在${\displaystyle 9<n<19\,\!}$的情况下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$的平方不能组成回文数，却有着固定的结构：

1. 如果${\displaystyle n=10\,\!}$，前缀：123456790，后缀：0987654321
2. 如果${\displaystyle n>10\,\!}$，前缀：123456790，中段：从1开始顺序数数，直至得出${\displaystyle n\,\!}$与9的差，再倒数至2，后缀：0987654321

循环单位素数

当${\displaystyle n}$能被大于1的${\displaystyle k}$整除时，${\displaystyle R_{k}|R_{n}}$（例如${\displaystyle 111111111=111\times 1001001}$），因此若${\displaystyle R_{n}}$是素数，${\displaystyle n}$必须是素数。

现在已知${\displaystyle n=2,19,23,317,1031}$时，${\displaystyle R_{n}}$是素数，而${\displaystyle n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207}$的${\displaystyle R_{n}}$则可能是伪素数，${\displaystyle R_{8177207}}$是目前已知最大的可能素数（英语：probable prime）。

号码	n	年份	发现者
1	2	－	－
2	19	－	－
3	23	－	－
4	317	1978年	Williams, Dubner
5	1031	1986年	Dubner
6	49081	1999年	Dubner
7	86453	2000年	Baxter
8	109297	2007年	Bourdelais, Dubner
9	270343	2007年	Voznyy, Budnyy
10	5794777	2021年	Batalov, Propper
11	8177207	2021年	Batalov, Propper

参见

• 循环单位约数表