算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$为${\displaystyle n}$个非负实数，它们的算术平均数是${\displaystyle \mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$，它们的几何平均数是${\displaystyle \mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$：

${\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}$

等号成立当且仅当${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$。

通常用于两个数之间，设这两个数为${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，也就是${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}}$

算术-几何平均值不等式仅适用于非负实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式（或均值不等式），其实后者是一组更广泛的不等式。

例子

在${\displaystyle n=4}$的情况，设：${\displaystyle x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5}$，那么

${\displaystyle \mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945}$

可见${\displaystyle \mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}}$。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。${\displaystyle n=2}$的情况很早就为人所知，但对于一般的${\displaystyle n}$，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明^[1]：

命题${\displaystyle P_{n}}$：对任意的${\displaystyle n}$个正实数${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$，${\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}$

当${\displaystyle n=2}$时，${\displaystyle P_{2}}$显然成立。假设${\displaystyle P_{n}}$成立，那么${\displaystyle P_{2n}}$成立。证明：对于${\displaystyle 2n}$个正实数${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}}$，

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)}$

${\displaystyle \geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}}$

${\displaystyle =\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}$

假设${\displaystyle P_{n}}$成立，那么${\displaystyle P_{n-1}}$成立。证明：对于${\displaystyle n-1}$个正实数${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n-1}}$，设${\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$，${\displaystyle \mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}}$，那么由于${\displaystyle P_{n}}$成立，${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}}$。

但是${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}}$，${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}}$，因此上式正好变成

${\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}$

也就是说${\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}}$

综上可以得到结论：对任意的自然数${\displaystyle n\geq 2}$，命题${\displaystyle P_{n}}$都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数${\displaystyle k}$，命题${\displaystyle P_{2^{k}}}$都成立。因此对任意的${\displaystyle n\geq 2}$，可以先找${\displaystyle k}$使得${\displaystyle 2^{k}\geq n}$，再结合第三条就可以得到命题${\displaystyle P_{n}}$成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（英语：George Chrystal）（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的^[2]：

由对称性不妨设${\displaystyle x_{n+1}}$是${\displaystyle x_{1},x_{2}\cdots x_{n+1}}$中最大的，由于${\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}={\frac {n\mathbf {A} _{n}+x_{n+1}}{n+1}}}$，设${\displaystyle x_{n+1}=\mathbf {A} _{n}+b}$，则${\displaystyle b\geq 0}$，并且有${\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}=\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}}}$。

根据二项式定理，

${\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}^{n+1}=(\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}})^{n+1}\geq \mathbf {A} _{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf {A} _{n}^{n}{\frac {b}{n+1}}=\mathbf {A} _{n}^{n}(\mathbf {A} _{n}+b)=\mathbf {A} _{n}^{n}x_{n+1}\geq \mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}}$

${\displaystyle =x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}=\mathbf {G} _{n+1}^{n+1}}$

于是完成了从${\displaystyle n}$到${\displaystyle n+1}$的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明^[3]：

在${\displaystyle n}$的情况下有不等式${\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}$和${\displaystyle x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}\geq n{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}}$成立，于是：

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}}{n}}\geq \mathbf {G} _{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}\geq 2{\sqrt[{2n}]{\mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf {G} _{n+1}}$

所以${\displaystyle (n+1)\mathbf {A} _{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}\geq 2n\mathbf {G} _{n+1}-(n-1)\mathbf {G} _{n+1}=(n+1)\mathbf {G} _{n+1}}$，从而有${\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}\geq \mathbf {G} _{n+1}}$。

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$实际上等于${\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)}$，因此算术-几何平均不等式等价于：

${\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}}$。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明

令${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)}$，于是有${\displaystyle b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1}$，再作代换${\displaystyle b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}}$，运用排序不等式得到：

${\displaystyle {\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n}$，

于是得到${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}}$，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$和${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$为正实数，并且${\displaystyle p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1}$，那么：

${\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}$。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}}$

设${\displaystyle A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}}$，${\displaystyle G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}}$，那么有：

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}}$

也就是说：对${\displaystyle k}$个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对${\displaystyle n}$个横行取的${\displaystyle n}$个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间${\displaystyle [0,1]}$上可积的正值函数${\displaystyle f}$，都有

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)}$

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})}$后，将两边的黎曼和中的${\displaystyle n}$趋于无穷大后得到的形式。

算数-几何-调和平均值不等式

若再规定${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$的调和平均数${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.}$

则有

${\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}$

且等号依旧成立当且仅当${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$。

证明由算数-几何平均值不等式知

${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}$

故

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

即

${\displaystyle \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}$

且等号成立于

${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}}$

即

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

参见

• 平均数不等式
• 算术平均数
• 几何平均数
• 幂平均不等式
• 杨氏不等式

参考来源

1. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, （页面存档备份，存于互联网档案馆） Paris, 1821. p457.
2. George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Chapter XXIV.p46.
3. P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007

• 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
• 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
• 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
• 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。