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代数几何在数论的应用 来自维基百科，自由的百科全书
在数学中，算术几何（arithmetic geometry）大致是从代数几何到数论问题的技术的应用[1]。算术几何围绕着丢番图几何，这是代数簇有理点的研究[2][3]。
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算术几何主要的研究对象是有理点：即多项式方程组在代数数域、有限域、P进数、或函数域上的解集。(研究对象是非代数闭域,所以不包括本来即为代数闭域的实数域。) 有理点的特征可以用衡量其算术复杂性的高度函数(height function)来表示。[5]
随着代数几何的现代抽象发展，当前的主要的研究方向是在非代数闭域上定义的代数簇的结构。在有限域上，平展上同调(Étale cohomology)提供了与代数簇相关的拓扑不变量[6]。霍奇理论提供了工具来检查复数上的上同调性质如何扩展到P进数上[7]。
算术几何原指从法尔廷斯（Faltings,G.）、奎伦（Quillen,D.G.）等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作，现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、黎曼面、K理论等，所以，它是典型的边缘学科。丢番图方程是算术几何的一个重要课题，其中的问题可以自然地用几何语言表达。在许多著名问题如莫德尔猜想、费马大定理等的研究中，都表明几何方法的必要性。这正是算术几何的生命力所在。
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