表达式

表达式（expression）此处是数学表达式（mathematical expression）的简称，在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。数学符号可用于标定常量、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。^[1]

此条目介绍的是不含等号的数学表达式。关于含有等号以及两个(含)以上表达式的情形，请见“方程式”。

在方程式7x − 5 = 2中，等号两侧既均是表达式。

表达式随语境或不同领域学科也称：表示式、数学式、运算式（operation expression）、表式、陈式、算式；数学术语若是复合词，表达式也常简作“式”；例如：代数式（algebraic expression）、渐近式（asymptotic expression）。

范例

表达式有简单的，例如：

${\displaystyle 0+0}$

${\displaystyle 8x-5}$   （线性多项式）

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$   （二次多项式）

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$   （有理分式）

也有复杂的：

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{k}}{\operatorname {d} \!t^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{n+1}}{\operatorname {d} \!t^{n+1}}}f(u(t))\,\operatorname {d} \!t.}$

各种表达式的分类列表

数学表达式的各种形式包括了算术、多项式、代数、闭合形式和解析的表达式。下表列出了这些种类中所可能包含的元素。

查 论 编	算式	多项式	代数式	闭合形式	解析式	数学表达式
常量	是	是	是	是	是	是
变数	是	是	是	是	是	是
四则运算	是	是	是	是	是	是
阶乘	是	是	是	是	是	是
整数指数幂	否	是	是	是	是	是
N次方根	否	否	是	是	是	是
有理数幂	否	否	是	是	是	是
实数指数幂	否	否	否	是	是	是
对数	否	否	否	是	是	是
三角函数	否	否	否	是	是	是
反三角函数	否	否	否	是	是	是
双曲函数	否	否	否	是	是	是
反双曲函数	否	否	否	是	是	是
Γ函数	否	否	否	否	是	是
Bessel函数	否	否	否	否	是	是
特殊函数	否	否	否	否	是	是
连分数	否	否	否	否	是	是
级数	否	否	否	否	是	是
形式幂级数	否	否	否	否	否	是
微分	否	否	否	否	否	是
极限	否	否	否	否	否	是
积分	否	否	否	否	否	是

语法与语义

语法

表达式是一个句法结构，它必须具有良好定义的形式。表达式中的运算符必须在正确位置有正确的输入数，组成这些输入的字符必须是有效的，具有明确的运算次序等。违反语法规则的字符，不会构成有效的数学表达式。例如，在一般算术符号中，表达式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表达式则不是：

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

语义

表达式的语义是对语句意义的研究，逻辑语义学是关于所传达的意义。在代数中，可用表达式指定一个值；而这个结果值取决于对式中变量所赋予的值，经由附加语义的运算符操作后以确定该值。语义的选择则根据表达式的上下文。同一个表达式 1 + 2 × 3 可能会有不同结果（依算数惯例的结果为7，也可能是9），这取决于上下文中隐含的运算次序。

语义规则可以声明某些表达式并无指定值（例如，当它们除以0时）；对这表达式称为未定义，但它们仍然以良好的形式表现出来。广义来说，表达式的意义并不局限于指定值；例如，表达式可用于指定条件，表示要被求解的方程，或将其视为可根据某些规则而操作的对象。有指定值的表达式同时也代表了有假设前提，例如与运算符${\displaystyle \oplus }$有关的假设前提，会指定一个内部的直接和（direct sum）。

形式语言和lambda演算

表达式和其赋值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其${\displaystyle \lambda }$演算中被公式化。${\displaystyle \lambda }$演算对现代数学和电脑编程语言的发展都曾有过重大的影响。

${\displaystyle \lambda }$演算有着一个更有趣的推论，在某些情况之下，两个表达式的等值与否是无法决定的。而且这个推论在任一和${\displaystyle \lambda }$演算有同样功用的系统内也都是成立的。

变量

许多数学表达式中包括变量，变量又区分为自由变量或约束变量两种。对于自由变量赋值的一给定组合，进行对表达式的评估，然而这些赋值的某些组合在评估整句表达式后的结果，可能没有定义。因此一个表达式表示一个函数，其输入是赋予自由变量的值，其输出是表达式的结果值。

举例来说，表达式 ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$，分别使自由变数 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 定值为 ${\displaystyle 10}$ 和 ${\displaystyle 5}$，其输出为数字 ${\displaystyle 2}$；
但注意在 ${\displaystyle y}$ 值为 ${\displaystyle 0}$ 时，则这表达式没有定义。

数学表达式的评估取决于上下文背景对式中运算符的定义，赋值的定义域和评估结果的域。如果两个表达式之中的变量，对于它们赋值的每一种组合都产生相同的输出，则这两个表达式被认定为相等，即它们实为相同的函数。

例如，表达式 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}2nx}$ 有自由变数 ${\displaystyle x}$、约束变数 ${\displaystyle n}$、常数 ${\displaystyle 1,2,3}$、两个内含的乘法算符和一个总和算符。
此一表达式和另一较简单的表达式 ${\displaystyle 12x}$ 相等。${\displaystyle x=3}$ 时的值为 ${\displaystyle 36}$。

参见

• 表达式 (程式)
• 代数闭包
• 组合子逻辑
• 函数式编程
• 数学公式
• 方程式
• 不等
• 恒等式

参考资料

1. Oxford English Dictionary, s.v. “Expression (n.), sense II.7,” "A group of symbols which together represent a numeric, algebraic, or other mathematical quantity or function."

外部链接

• Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
• Plot mathematical expressions （页面存档备份，存于互联网档案馆） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.