积分图 （英语：integral image summed area table SAT ）[ 1] [ 2] [ 3] [ 4]
积分图是于1984年由富兰克林·克罗 引入计算机图形学领域，在20年后用于维奥拉-琼斯目标检测框架 。富兰克林在设计积分图时主要是为Mipmap 设计，但积分图并没有在计算机图形学领域中被广泛使用，直至在20年后，积分图才因维奥拉-琼斯目标检测框架的使用而开始普遍起来。然而，从历史角度来看，富兰克林对多维度的概率分布函数研究的理念是众所周知的，即透过观察、计算各自的累积分布函数，以计算出二维 （或N维）概率（面积的概率分布）。[ 5]
积分图的每一点（x , y ）的值是原图中对应位置的左上角区域的所有值得和：[ 6] [ 7]
I
(
x
,
y
)
=
∑
x
′
≤
x
y
′
≤
y
i
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle I(x,y)=\sum _{\begin{smallmatrix}x'\leq x\\y'\leq y\end{smallmatrix}}i(x',y')}
而且，积分图可以只遍历一次图像即可有效的计算出来，因为积分图每一点的（x , y ）值是：
I
(
x
,
y
)
=
i
(
x
,
y
)
+
I
(
x
−
1
,
y
)
+
I
(
x
,
y
−
1
)
−
I
(
x
−
1
,
y
−
1
)
{\displaystyle I(x,y)=i(x,y)+I(x-1,y)+I(x,y-1)-I(x-1,y-1)\,}
计算矩形阴影区域的值 一旦积分图计算完毕，对任意矩形区域的和的计算就可以在常数时间内完成。如右图中，阴影矩形区域的值：
∑
A
(
x
)
<
x
′
≤
C
(
x
)
A
(
y
)
<
y
′
≤
C
(
y
)
i
(
x
′
,
y
′
)
=
I
(
C
)
+
I
(
A
)
−
I
(
B
)
−
I
(
D
)
.
{\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}A(x)<x'\leq C(x)\\A(y)<y'\leq C(y)\end{smallmatrix}}i(x',y')=I(C)+I(A)-I(B)-I(D).}
这个方法可以自然的扩展到连续空间[ 8]
这个方法也可以扩展到高维图像中[ 9]
x
p
{\displaystyle x^{p}}
p
{\displaystyle p}
{
0
,
1
}
d
{\displaystyle \{0,1\}^{d}}
∑
p
∈
{
0
,
1
}
d
(
−
1
)
d
−
‖
p
‖
1
I
(
x
p
)
{\displaystyle \sum _{p\in \{0,1\}^{d}}(-1)^{d-\|p\|_{1}}I(x^{p})\,}
其中，
I
(
x
)
{\displaystyle I(x)}
x
{\displaystyle x}
d
{\displaystyle d}
x
p
{\displaystyle x^{p}}
d
=
2
{\displaystyle d=2}
A
=
x
(
0
,
0
)
{\displaystyle A=x^{(0,0)}}
B
=
x
(
1
,
0
)
{\displaystyle B=x^{(1,0)}}
C
=
x
(
1
,
1
)
{\displaystyle C=x^{(1,1)}}
D
=
x
(
0
,
1
)
{\displaystyle D=x^{(0,1)}}
神经影像学 作例子，当使用体素 或具时间戳记的像素时，神经影像的图像就会具有
d
=
3
{\displaystyle d=3}
d
=
4
{\displaystyle d=4}
[ 10]
Patrick, Cozzi. Summed Area Tables (PDF) . University of Pennsylvania. 1984年春 [2013年1月3日] . （原始内容存档 (PDF) 于2016年9月10日）. Crow, Franklin. Summed-area tables for texture mapping (PDF) . SIGGRAPH '84: Proceedings of the 11th annual conference on Computer graphics and interactive techniques: 207–212. 1984年 [2013年1月3日] . （原始内容 (PDF) 存档于2011-06-04）. Tapia, Ernesto. A note on the computation of high-dimensional integral images. Pattern Recognition Letters. January 2011, 32 (2). doi:10.1016/j.patrec.2010.10.007 Malcom Jeeves (1994). Mind Fields: Reflections on the Science of Mind and Brain . Grand Rapids, MI: Baker Books., p. 21
