矩阵分解

矩阵分解（decomposition, factorization）是将一个矩阵拆解为数个矩阵的乘积的运算。其依使用目的的不同，可分为几类。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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例子

在数值分析，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速算法。

例如，当对线性方程组 ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ 进行求解时，矩阵A可以通过LU分解进行分解。LU分解将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U。相比于原方程${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$，方程组${\displaystyle L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b} }$ 与${\displaystyle U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b} }$仅需更少的相加和乘法来求解，然而在不精确的算术（如 浮点数）中可能需要更多的数字。

类似的，QR分解将矩阵A分解为两个矩阵的乘积QR，其中Q是正交矩阵， R是上三角矩阵。方程Q(Rx) = b可以通过Rx = Q^Tb = c求解；方程Rx = c可以通过回带求解。该方法所需的额外的加法和乘法大概是LU分解法的两倍，但在不精确的算术中不要求额外的数字，因为QR分解是数值稳定的。

与线性方程解法相关的矩阵分解

• LU分解
• 科列斯基分解
• QR分解
• 特征分解

基于特征值和相关概念的分解

• 特征分解
• 若尔当标准型
• 舒尔分解
• 奇异值分解

其他分解

• 极分解
• 矩阵的平方根

外部链接

• Online Matrix Calculator
• Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization （页面存档备份，存于互联网档案馆）