相对熵

KL散度（Kullback-Leibler divergence，简称KLD）^[1]，在消息系统中称为相对熵（relative entropy），在连续时间序列中称为随机性（randomness），在统计模型推断中称为消息增益（information gain）。也称消息散度（information divergence）。

KL散度是两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来度量使用基于Q的分布来编码服从P的分布的样本所需的额外的平均位元数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布、估计的模型分布、或P的近似分布。^[1]

定义

对于离散随机变量，其概率分布P 和 Q的KL散度可按下式定义为

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=-\sum _{i}P(i)\ln {\frac {Q(i)}{P(i)}}.\!}$

等价于

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{i}P(i)\ln {\frac {P(i)}{Q(i)}}.\!}$

即按概率P求得的P和Q的对数商的平均值。KL散度仅当概率P和Q各自总和均为1，且对于任何i皆满足${\displaystyle Q(i)>0}$及${\displaystyle P(i)>0}$时，才有定义。式中出现${\displaystyle 0\ln 0}$的情况，其值按0处理。

对于连续随机变量，其概率分布P和Q的KL散度可按积分方式定义为 ^[2]

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\frac {p(x)}{q(x)}}\,{\rm {d}}x,\!}$

其中p和q分别表示分布P和Q的密度。

更一般的，若P和Q为集合X的概率测度，且P关于Q绝对连续，则从P到Q的KL散度定义为

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P,\!}$

其中，假定右侧的表达形式存在，则${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}}$为Q关于P的R–N导数。

相应的，若P关于Q绝对连续，则

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P=\int _{X}{\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}Q,}$

即为P关于Q的相对熵。

特性

相对熵的值为非负数：

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)\geq 0,\,}$

由吉布斯不等式可知，当且仅当${\displaystyle P=Q}$时${\displaystyle D_{KL}(P\|Q)}$为零。

尽管从直觉上KL散度是个度量或距离函数, 但是它实际上并不是一个真正的度量或距离。因为KL散度不具有对称性：从分布P到Q的距离通常并不等于从Q到P的距离。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)\neq D_{\mathrm {KL} }(Q\|P)}$

KL散度和其它量的关系

自资讯和KL散度

${\displaystyle I(m)=D_{\mathrm {KL} }(\delta _{im}\|\{p_{i}\}),}$

互信息和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&=D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P(X)P(Y))\\&=\mathbb {E} _{X}\{D_{\mathrm {KL} }(P(Y|X)\|P(Y))\}\\&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(P(X|Y)\|P(X))\}\end{aligned}}}$

资讯熵和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X)&=\mathrm {(i)} \,\mathbb {E} _{x}\{I(x)\}\\&=\mathrm {(ii)} \log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X)\|P_{U}(X))\end{aligned}}}$

条件熵和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X|Y)&=\log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P_{U}(X)P(Y))\\&=\mathrm {(i)} \,\,\log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P(X)P(Y))-D_{\mathrm {KL} }(P(X)\|P_{U}(X))\\&=H(X)-I(X;Y)\\&=\mathrm {(ii)} \,\log N-\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(P(X|Y)\|P_{U}(X))\}\end{aligned}}}$

交叉熵和KL散度

${\displaystyle \mathrm {H} (p,q)=\mathrm {E} _{p}[-\log q]=\mathrm {H} (p)+D_{\mathrm {KL} }(p\|q).\!}$

参见

• 熵 (资讯论)
• 交叉熵
• 斯坦因引理（英语：Stein's lemma）

参考文献

1. Kullback, S.; Leibler, R. A. On Information and Sufficiency. The Annals of Mathematical Statistics. 1951-03, 22 (1) [2022-08-15]. ISSN 0003-4851. doi:10.1214/aoms/1177729694. （原始内容存档于2022-08-18）.
2. C. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. p. 55.