洛希极限

洛希极限（Roche limit）是一个天体对自身的引力与第二个天体对它造成的潮汐力相等时两个天体的距离。当两个天体的距离少于洛希极限，天体就会倾向碎散，继而成为第二个天体的行星环。它以首位计算这个极限的人爱德华·洛希命名。

考虑一个因引力而结合的流体物件，绕某星体公转。当它和洛希极限相距颇远时，其形状一般都很接近圆。

因潮汐力而变形。

在洛希极限内，物件碎散。

较接近星体的粒子先散开。

形成了一个环

洛希极限常用于行星和环绕它的卫星。有些天然和人工的卫星，尽管它们在自身所环绕的星体的洛希极限内，却不至于变成碎片，因为它们除了引力外，还受到其他的力影响。木卫十六和土卫十八便是其中的例子，它们和所环绕的星体的距离少于流体洛希极限。它们仍未成为碎片是因为有弹性，加上它们并非完全流体。在这个情况下，卫星表面的物件有可能被潮汐力扯离卫星，这要视乎物件在卫星表面哪部分──潮汐力在两个天体中心之间的直线最强。

一些内部引力较弱的物体，例如彗星，可能在经过洛希极限内时化成碎片。苏梅克－列维9号彗星就是典型的例子，它在1992年经过木星时解体为21个碎片，1994年7月16日20时15分开始与木星碰撞。

现时所知的行星环都在洛希极限之内，除了创神星。2023年, 首次发现创神星有行星环^[1]。其行星环的距离超过创神星半径的七倍，是洛希极限的两倍多距离。其形成原因尚未清楚。

洛希极限的计算方法

设洛希极限为${\displaystyle d}$。

对于一个完全刚体、圆球形的卫星，假设其物质都是因为重力才合在一起的，且所环绕的行星亦是圆球形，并忽略其他因素如潮汐变形及自转。

${\displaystyle d=R\left(2\times \;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

其中${\displaystyle R}$是卫星所环绕的星体的半径，${\displaystyle \rho _{M}}$是该星体的密度，${\displaystyle \rho _{m}}$是卫星的密度。

对于是流体的卫星，潮汐力会拉长它，令它变得更易碎裂。

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

由于有黏度、摩擦力、化学键等影响，大部分卫星都不是完全流体或刚体，其洛希极限都在这两个界限之间。

如果一个刚体卫星的密度是所环绕的星体的密度两倍以上（例如一个巨大的气体行星跟刚体卫星；对于流体卫星来说，则要约14.2倍以上)，${\displaystyle d<R}$，洛希极限会在所环绕的星体之内，即是说这个卫星永远都不会因为所环绕的星体的引力而碎裂。

公式的导出

假设除了引力之外没有其他力，且卫星和所环绕的行星的形状是圆球。

考虑卫星表面的最接近行星的细质量${\displaystyle u}$，有两股力作用在${\displaystyle u}$上：卫星的引力和行星的引力。基于卫星在行星引力场内自由降落，潮汐力不过是行星引力同义词。

设${\displaystyle F_{G}}$为卫星作用在${\displaystyle u}$上的引力，根据牛顿引力定律，${\displaystyle F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$。

设${\displaystyle d}$为卫星和行星中心的距离，${\displaystyle R}$为行星半径，${\displaystyle F_{T}}$为行星作用在${\displaystyle u}$上的潮汐力，

${\displaystyle F_{T}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$。

若卫星刚好在洛希极限，${\displaystyle F_{G}=F_{T}}$，即

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$。

由此即可计出 ${\displaystyle d=r(2M/m)^{1/3}}$。

不想卫星半径出现在公式中，便将其半径以密度等变数写出。

行星的质量可写成：

${\displaystyle M=4\pi \rho _{M}R^{3}/3}$

卫星的质量可写成：

${\displaystyle m=4\pi \rho _{m}r^{3}/3}$

代入上面的洛希极限的公式，得

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$

简化成：

${\displaystyle d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

流体的洛希极限公式

洛希给出的基于流体洛希极限的公式是：

${\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

更精确的公式是：

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

${\displaystyle c/R}$是行星的扁度。

公式的推导过程较复杂，此处不予给出。

洛希极限的例子

以太阳系内的星体为例：

天体	平均密度（kg/m3）	赤道半径（m）
太阳	1,400	695,000,000
木星	1,330	71,500,000
地球	5,515	6,376,500
月球	3,340	1,737,400

彗星的平均密度是500公斤/m³

使用以上数据，计算流体及刚体洛希极限。R表示它们和被绕行星体赤道半径之比。

－	卫星	刚体洛希极限		流体洛希极限
		距离（米）	R	距离（米）	R
地球	月球	9,495,665	1.49	18,261,459	2.86
	彗星	17,883,432	2.80	34,392,279	5.39
太阳	地球	554,441,389	0.80	1,066,266,402	1.53
	木星	890,745,427	1.28	1,713,024,931	2.46
	月球	655,322,872	0.94	1,260,275,253	1.81
	彗星	1,234,186,562	1.78	2,373,509,071	3.42

太阳系的行星和其卫星之间的真实洛希极限和计算洛希极限如下表所示：

－	卫星	轨道半径：洛希极限
		刚体	流体
太阳	水星	104:1	54:1
地球	月球	41:1	21:1
火星	火卫一	172%	89%
	火卫二	451%	233%
木星	木卫十六	186%	93%
	木卫十五	220%	110%
	木卫五	228%	114%
	木卫十四	260%	129%
土星	土卫十八	174%	85%
	土卫十五	182%	89%
	土卫十六	185%	90%
	土卫十七	185%	90%
	土卫十一	198%	97%
天王星	天卫六	155%	79%
	天卫七	167%	86%
	天卫八	184%	94%
	天卫九	192%	99%
海王星	海卫三	140%	72%
	海卫四	149%	77%
	海卫五	153%	78%
	海卫六	184%	95%
	海卫七	220%	113%

参见

• 希尔球（Hill sphere）
• 洛希瓣（Roche lobe）
• 面条化（Spaghettification，一个更为极端的潮汐力扭曲）

参考资料

1. 存档副本. [2023-03-24]. （原始内容存档于2023-03-19）.

• Édouard Roche: La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol.1 (1847-50) p.243

外部链接

• 详细的导出计算洛希极限的教学 （页面存档备份，存于互联网档案馆）