十边形

在几何学中，十边形是指有十条边和十个顶点的多边形^[1]，其内角和为1440度。十边形有很多种，其中对称性最高的是正十边形。其他的十边形依照其类角的性质可以分成凸十边形和非凸十边形，其中凸十边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸十边形可以在近一步分成凹十边形和星形十边形，其中星形十边形表示边自我相交的十边形。

正十边形
一个正十边形
类型	正多边形
对偶	正十边形（本身）
边	10
顶点	10
对角线	35
施莱夫利符号	{10} t{5}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	二面体群 (D10), order 2×10
面积	${\displaystyle {\frac {10}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{10}}}$ ${\displaystyle \approx 7.694208842938a^{2}}$
内角（度）	144°
内角和	1440°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

正十边形

正十边形是指所有边等长、所有角等角的十边形，由十条相同长度的边和十个相同大小的角构成，是一种正多边形。正十边形的内角是${\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}}$弧度，换算成角度是144度^[1]。在施莱夫利符号中用 {10} 来表示^[2]。由于正十边形可看作是截去所有顶点的正五边形，即截角的正五边形，因此施莱夫利符号中也可以计为 ${\displaystyle t\left\{5\right\}}$。

面积

若已知正十边形的边长a，则正十边形的面积为^[3]：

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

若已知内切圆半径或边心距为r，则其面积为：

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=5r^{2}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\simeq 3.249196963\,r^{2}}$

若已知外接圆半径为R，其面积为：

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926262\,r^{2}}$

亦有另外一种算法：${\displaystyle A=2.5da}$，其中d表示2个平行边之间的距离。

构造

正十边形是一个可作图多边形^[4]。尺规作图可先在圆形内制作正五边形，再将各边二等分线延伸至圆周即可完成正十边形的顶点。

正十边形中的黄金比例

无论是在给定的外接圆^[5]或已知边长要构造出正十边形皆需要与黄金比例相关的线段才能作出。

• 在给定的外接圆构造正十边形的过程中，其圆G的半径GE₃与线段AH的比为黄金比例

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618}$

• 在已知边长构造正十边形^[6]的过程中，圆弧D半径DA与线段E₁₀F的比为黄金比例

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

给定的外接圆^[5]作正十边形的动画

已知边长^[6]作正十边形的动画

扭歪十边形

三种正扭歪十边形

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
正扭歪十边形是反五角柱、反五角星柱和反交错五角柱的锯齿状侧面边

五角反柱体的扭歪十边形。

扭歪十边形，又称不共面十边形，是指顶点并非完全共面的十边形，或具有十条边和十个顶点的扭歪多边形。

多面体中的扭歪十边形

正十二面体

正二十面体

截半二十面体

菱形三十面体

参见

• 十边形数

参考文献

1. Sidebotham, Thomas H., The A to Z of Mathematics: A Basic Guide, John Wiley & Sons: 146, 2003 [2016-08-27], ISBN 9780471461630, （原始内容存档于2018-02-18）.
2. Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 9, 1974 [2016-08-27], ISBN 9780521098595, （原始内容存档于2016-08-11）.
3. The elements of plane and spherical trigonometry, Society for Promoting Christian Knowledge: 59, 1850
4. Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, p. 18, 1991. ISBN 978-0486266398
5. Green, Henry, Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II, London: Simpkin, Marshall,& CO.: 116, 1861 [2016-08-27], （原始内容存档于2016-03-05）. Retrieved 10 February 2016.
6. Köller, Jürgen, Regelmäßiges Zehneck, → 3. Section "Formeln, Ist die Seite a gegeben ...", 2005 [2016-08-27], （原始内容存档于2016-08-31）. Retrieved 10 February 2016.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Decagon. MathWorld.
• Definition and properties of a decagon（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation