根轴(英语:radical axis)是由两个圆唯一确定的,与两圆连心线垂直的直线,其定义为关于两圆的圆幂相等的点的轨迹。 此条目需要补充更多来源。 (2023年1月22日) 性质 几何形状及其位置的确定 令向量 x → {\displaystyle {\vec {x}}} 、 m → 1 {\displaystyle {\vec {m}}_{1}} 、 m → 2 {\displaystyle {\vec {m}}_{2}} 分别为根轴上的点 P {\displaystyle P} 、两圆圆心 M 1 {\displaystyle M_{1}} 、 M 2 {\displaystyle M_{2}} 的位置。则根轴的“曲线”方程为: ( x → − m → 1 ) 2 − r 1 2 = ( x → − m → 2 ) 2 − r 2 2 , {\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},} 即 2 x → ⋅ ( m → 2 − m → 1 ) + m → 1 2 − m → 2 2 + r 2 2 − r 1 2 = 0. {\displaystyle 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.} d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}} 的定义和计算 从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因 m → 1 2 − m → 2 2 + r 2 2 − r 1 2 {\displaystyle {\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}} 内积大小仅由 x {\displaystyle x} 在 m → 2 − m → 1 {\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}} 方向的分量决定,所以根轴是一条垂直于连心线的直线。 根轴在连心线上的垂足 L {\displaystyle L} 与圆心 M 1 {\displaystyle M_{1}} 、 M 2 {\displaystyle M_{2}} 的距离 d 1 {\displaystyle d_{1}} 、 d 2 {\displaystyle d_{2}} 分别满足 d 1 = d 2 + r 1 2 − r 2 2 2 d , d 2 = d 2 + r 2 2 − r 1 2 2 d {\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}} , 其中 d = | M 1 M 2 | {\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|} . 如果两圆相交,则根轴为它们交点的连线;如果两圆相切,则根轴为它们的公切线[1]:27。 根心 定义 三个圆能画出三条根轴,这三条根轴交于一点,称为三个圆的根心,若三个圆的圆心共线,则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点[1]:27。 存在性的证明 考虑三圆 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 、 Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 、 Q 3 {\displaystyle Q_{3}} 两两构成的三条根轴。令 P {\displaystyle P} 为 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 、 Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 根轴以及 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 、 Q 3 {\displaystyle Q_{3}} 根轴的交点。有 Pow Q 1 ( P ) = Pow Q 2 ( P ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)} , Pow Q 1 ( P ) = Pow Q 3 ( P ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)} , 其中 Pow Q i ( P ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)} 表示点 P {\displaystyle P} 关于圆 Q i {\displaystyle Q_{i}} 的幂。 则知点 P {\displaystyle P} 关于 Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 和 Q 3 {\displaystyle Q_{3}} 的圆幂都相等,因此它在第三条根轴上,换言之,三条根轴共点,存在根心。 参考资料Loading content...外部链接Loading content...Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.