无穷递降法

无穷递降法，又名无穷递减法（英语：Proof by infinite descent），是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤

• 假设方程有解，并设X为最小的解。
• 从X推出一个更小的解Y。
• 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

一些实用的例子

a2+b2=3(s2+t2)无非平方解

证明下列方程无正整数解:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}$

证明:

假设该方程有正整数解。

设${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$为最小的解。即

${\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$

显然，${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle b_{1}}$都必须能被3整除。设

${\displaystyle 3a_{2}=a_{1}\,}$及${\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}$

我们得到

${\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$

${\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}$

这是更小的解，与${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的无理性

主条目：2的算术平方根

假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理数，即${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$有正整数解。
令${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解
易知${\displaystyle p}$是偶数，从得${\displaystyle q}$是偶数
⇒${\displaystyle (p/2,q/2)<(p,q)}$
和${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解矛盾，故无正整数解
⇒从得${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是无理数

参见

• 韦达跳跃
• 反证法