反对称矩阵

在线性代数中，反对称矩阵（或称斜对称矩阵）指转置矩阵和自身的加法逆元相等的方形矩阵。其满足：

A^T = − A

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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查 论 编

或写作${\displaystyle A=(a_{ij})}$，各元素的关系为：

${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}\,\!}$

例如，下例为一个斜对称矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}}$

在非偶数域中，斜对称矩阵中的主对角线元素皆为0。

例子

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&2\\-2&0\end{bmatrix}}}$

特性

• 斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。
• 任意矩阵${\displaystyle A}$，${\displaystyle A^{T}-A}$是斜对称矩阵。
• 若${\displaystyle A}$是斜对称矩阵，${\displaystyle x}$是向量，${\displaystyle x^{T}Ax=0}$
• 斜对称矩阵的主对角线元素必是零，所以其迹数为零。

行列式

若${\displaystyle A}$是${\displaystyle n\times n}$的斜对称矩阵，其行列式满足

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=\operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (-A)=(-1)^{n}\operatorname {det} (A)}$。

• 若${\displaystyle n}$是奇数，行列式等于零。这个结果叫雅可比定理。
• 若${\displaystyle n}$是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方：${\displaystyle \operatorname {det} (A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}}$。

这个多项式${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$叫${\displaystyle A}$的普法夫行列式。任意实斜对称矩阵的行列式是非负数。

谱理论

斜对称矩阵的特征根永远以成对的形式（±λ）出现，因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下：iλ₁, −iλ₁, iλ₂, −iλ₂, …，其中 λ_k 是实数。

实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ Q^T的形式，其中Q是正交矩阵，且：

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

对于实数λ_k。这个矩阵的非零特征值是±iλ_k。在奇数维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

无穷小旋转

斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上，斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。

另外一种说法是，斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出：

${\displaystyle [A,B]=AB-BA\ }$

很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。

于是，斜对称矩阵A的矩阵指数，是正交矩阵R：

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

参见

• 斜埃尔米特矩阵
• 辛矩阵

参考文献

• Eves, Howard. Elementary Matrix Theory. Dover Publications. 1980. ISBN 978-0-486-63946-8.