拉格朗日方程

拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律。

约瑟夫·拉格朗日

定义

假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$是拉格朗日量，${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!}$是广义坐标，是时间${\displaystyle t\,\!}$的函数，${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!}$是广义速度。

导引

在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：

设定函数${\displaystyle \mathbf {y} (x)\,\!}$和${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$：

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$、

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle x\,\!}$是自变量（independent variable）。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$取得局部平稳值，则在区间${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$内，欧拉-拉格朗日方程成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!}$。

现在，执行下述变换：

• 设定独立变数${\displaystyle x\,\!}$为时间${\displaystyle t\,\!}$、
• 设定函数${\displaystyle y_{i}\,\!}$为广义坐标${\displaystyle q_{i}\,\!}$、
• 设定泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$为拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$，

则可得到拉格朗日方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}$。

• 为了满足这变换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。
• 拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。

半完整系统

主项目：参阅半完整系统

一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为

${\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!}$；

则称此系统为半完整系统^[1]。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!}$；

其中，${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$是未知函数。

由于这${\displaystyle N\,\!}$个广义坐标中，有${\displaystyle n\,\!}$个相依的广义坐标，泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$不能直接被变换为拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$；必须加入拉格朗日乘子，将泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$变换为${\displaystyle {\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!}$。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$是广义力，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!}$。

这${\displaystyle N\,\!}$个广义力运动方程加上${\displaystyle n\,\!}$个约束方程，给出${\displaystyle N+n\,\!}$个方程来解${\displaystyle N\,\!}$个未知广义坐标与${\displaystyle n\,\!}$个拉格朗日乘子。

实例

这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出，用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力，因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。

自由落体

思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力${\displaystyle F=mg\,\!}$作用于此粒子，应用牛顿第二定律，可以得到运动方程

${\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!}$；

其中，x-坐标垂直于地面，由初始点（原点）往地面指。

这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能${\displaystyle T\,\!}$是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$，

位势${\displaystyle V\,\!}$是

${\displaystyle V=-mgx\,\!}$；

所以，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$是

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!}$ 。

将${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$代入拉格朗日方程，

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!}$。

运动方程是

${\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!}$；

与牛顿方法的运动方程相同。

具有质量的移动支撑点的简单摆

思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面，y-轴垂直于x-轴，指向地面。摆锤P的质量是${\displaystyle m\,\!}$，位置是${\displaystyle (x,\ y)\,\!}$。摆绳的长度是${\displaystyle l\,\!}$。摆的支撑点Q的质量是${\displaystyle M\,\!}$。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是${\displaystyle (X,\ 0)\,\!}$。摆绳与y-轴的夹角是${\displaystyle \theta \,\!}$。那么，动能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!}$，

位势为

${\displaystyle V=-mgy\,\!}$。

所以，拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!}$。

两个约束方程为

${\displaystyle x=X+l\sin \theta \,\!}$、

${\displaystyle y=l\cos \theta \,\!}$。

将约束方程代入拉格朗日量方程,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!}$。

特别注意，在这里，广义坐标是${\displaystyle X\,\!}$与${\displaystyle \theta \,\!}$。应用拉格朗日方程，经过微分运算，对于${\displaystyle X\,\!}$坐标，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!}$。

运动方程为

${\displaystyle (M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!}$。

由于拉格朗日量不显含广义坐标${\displaystyle X\,\!}$，称${\displaystyle X\,\!}$为可略坐标，而其相对应的广义动量${\displaystyle p_{X}\,\!}$是常数${\displaystyle K_{1}\,\!}$：

${\displaystyle p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!}$。

对于${\displaystyle \theta \,\!}$坐标，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!}$；

所以，运动方程为

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!}$。

假如用牛顿第二定律，则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。

相关条目

• 物理学主题

• 拉格朗日量
• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 牛顿力学
• 变分法

参考文献

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）. 引文格式1维护：冗余文本 (link)