投射分解

在同调代数中，一个阿贝尔范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的对象 ${\displaystyle A}$ 之投射分解定义为一个正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{n}\longrightarrow P_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow P_{0}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

或简写成 ${\displaystyle P_{\bullet }\rightarrow A\rightarrow 0}$，使得其中每个 ${\displaystyle P_{n}}$ 皆为投射对象。对任一对象 ${\displaystyle A}$，任两个投射分解至多差一个链复形的同伦等价。

若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的每个对象都有投射分解，则称 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 有充足的投射元，这类范畴上能以投射分解开展同调代数的研究。典型例子包括：

• 环 ${\displaystyle R}$ 上的模构成之范畴 ${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$，这是交换代数的主要对象。模上投射分解的特例是自由分解，此时我们要求每个 ${\displaystyle P_{\bullet }}$ 都是自由模；由于任何模均可表成自由模的商，自由分解总是存在的。希尔伯特合冲定理断言：若取 ${\displaystyle R}$ 为域上的多项式环，则自由分解在有限步之内停止。
• 群 ${\displaystyle G}$ 的 ${\displaystyle G}$-模范畴 ${\displaystyle G-\mathbf {Mod} }$，也就是带有 ${\displaystyle G}$ 的群作用的阿贝尔群，此范畴上能定义群上同调。

反例则包括一般概形 ${\displaystyle X}$ 上的凝聚层范畴 ${\displaystyle \mathbf {Coh} _{X}}$。

与此对偶的概念是内射分解。