悬链曲面

悬链曲面（又名悬垂曲面）是一个曲面，是将悬链线绕其准线旋转而得（见右侧动画），故为一旋转曲面。除了平面以外，悬链曲面也是第一个被发现的极小曲面，在1744年被莱昂哈德·欧拉发现且证明。^[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。^[2]只有两个曲面既为旋转曲面又是最小曲面，即为平面与悬链曲面。^[3] 悬链曲面可被以下参数式所定义：

${\displaystyle x=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u}$

${\displaystyle y=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u}$

${\displaystyle z=v}$

悬链曲面

A catenoid obtained from the rotation of a catenary

将悬链线绕其准线旋转而得的悬链曲面

其中${\displaystyle u\in [-\pi ,\pi )}$，${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$且${\displaystyle c}$为非零实数。 在圆柱座标系则有：

${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}}}$

其中${\displaystyle c}$为实数。

理想状态下，把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开，就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界（铁环）下表面积最小的旋转曲面，根据这个原理，可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。

螺旋面变换

此动画展示了螺旋面如何变型成悬链曲面

螺旋面与悬链曲面属同一相关曲面，我们可以在不拉缩的情况下将悬链曲面扳成螺旋面。也就是说，我们可以用一个连续且等距的变换将悬链曲面变成螺旋面的一部分，且在变型的每一瞬间，曲面皆为极小曲面。此变换可由下列式子给出：

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}$

注意${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$，且变换参数${\displaystyle \theta }$满足${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$，

其中 ${\displaystyle \theta =\pi }$对应到右旋螺旋面， ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$对应到悬链曲面， ${\displaystyle \theta =0}$对应到左旋螺旋面。

该等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。

参见

• 几何
• 曲面

1. L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
2. Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
3. Weisstein, Eric W. (编). Catenoid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. （原始内容存档于2013-12-28） （英语）.