广义相对论中的数学

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狭义相对论

在狭义相对论中，微积分、矩阵为其所用到的主要数学工具，配合闵可夫斯基时空的转换以及劳伦兹不变量的使用，粗略地描述了时、空的性质。当s'坐标系在s坐标系沿x轴作等速v运动时，其转换以以下方程表示：

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

其具有以下不变形式：

${\displaystyle {c^{2}}{t^{2}}-x^{2}-y^{2}-z^{2}={c^{2}}{t'^{2}}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}}$

或者写成微分形式

${\displaystyle {c^{2}}{dt^{2}}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}={c^{2}}{dt'^{2}}-dx'^{2}-dy'^{2}-dz'^{2}}$

在适当地选取坐标系可使${\displaystyle c=1}$

对于牛顿力学中的动量、能量作了以下的修正：

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

${\displaystyle E=mc^{2}}$

其中

${\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$，:${\displaystyle m_{0}}$为物质在静止下的质量

能量和动量有以下关系：

${\displaystyle E^{2}={\left(pc\right)}^{2}+{\left(m_{0}c^{2}\right)}^{2}}$

广义相对论

狭义相对论仅限于等速、时空可近似平坦地情况下，然而在讨论大尺度且有引力场的情况下，就必须使用广义相对论。

爱因斯坦认为，惯性坐标系并没有优于其他坐标系，一切的物理定律应在任何参考坐标系下皆成立，所有的变换应都是协变的。因此，在其论文中，大量地使用称之为张量(Tensor)的数学工具，其方程往往是非线性的，因此很难求解。

数学形式

一小段弧长ds平方的不变式

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }{dx^{\mu }}{dx^{\nu }}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$为度规张量

${\displaystyle {dx^{\mu }}}$和${\displaystyle {dx^{\nu }}}$为逆变张量

质点沿测地线运动，测地线方程可以用哈密顿原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推导，以下为测地线方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\sigma }}{ds}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }}$为克里斯多福符号

在非欧式空间中，描述空间曲率的张量为黎曼－克里斯多福张量

${\displaystyle R_{\nu \rho \sigma }^{\beta }={\frac {\partial \Gamma _{\nu \sigma }^{\beta }}{\partial x^{\rho }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\nu \rho }^{\beta }}{\partial x^{\sigma }}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \rho }^{\beta }-\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\beta }}$

参考文献

外部链接

• 斯坦福大学广义相对论的课程 （页面存档备份，存于互联网档案馆）