幸运数

幸运数是经由类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。埃拉托斯特尼筛法是用来产生素数的算法，幸运数用的筛法与其类似，但是是依据整数在剩下数字数列中的位置来判断^[1]。

幸运数是在1956年在Gardiner, Lazarus、尼古拉斯·梅特罗波利斯以及斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆所著的论文中提到了。他们在同一篇论文中也提到了另一个筛“Josephus Flavius之筛”^[2]，原因是该筛法和约瑟夫斯问题的计数游戏很类似。

幸运数的一些性质和素数类似，例如也有类似素数定理的渐近特性，有个版本的哥德巴赫猜想是针对幸运数的扩展。有无限多个幸运数。孪生素数和孪生幸运数出现的频率也相当。不过，若L_n代表第n个幸运数，p_n是第n个素数，则当n够大时，L_n > p_n^[3]。

因为幸运数和素数的一些类似性质，有些数学家认为用其他的筛法也可以产出有类似性质的整数数列，不过有关此一猜想，目前还没有足够的理论基础。

筛法

示明筛选幸运数过程的动画，其中红色的数字为幸运数。

由一组由1开始的数列为例：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,...

先将所有偶数删去，只留下奇数：

1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,...

然后把数列中的第${\displaystyle 2}$个数字(设该数字为${\displaystyle x}$)的倍数对应的数删除，即把所有第${\displaystyle nx,x\in \mathbb {Z^{+}} }$个数删除，例如上述例子中，第${\displaystyle 2}$数字是${\displaystyle 3}$，所以删去所有第${\displaystyle 3n}$个数：

1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,...

新数列的第${\displaystyle 3}$项(每次都加上${\displaystyle 1}$)为${\displaystyle 7}$，因此将新数列的第${\displaystyle 7n}$个数删除：

1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,...

若一直重复上述的步骤，最后剩下的数就是幸运数 A000959:

1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99......

幸运素数

幸运素数是既是素数又是幸运数的数。

最小的几个幸运素数为 A031157： 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127……

目前猜想有无穷个幸运素数^[4]。

参考资料

1. Weisstein, Eric W. Lucky Number. mathworld.wolfram.com. [2020-08-11] （英语）.
2. Gardiner, Verna; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. On certain sequences of integers defined by sieves. Mathematics Magazine. 1956, 29 (3): 117–122. ISSN 0025-570X. JSTOR 3029719. Zbl 0071.27002. doi:10.2307/3029719.
3. Hawkins, D.; Briggs, W.E. The lucky number theorem. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 81–84,277–280. ISSN 0025-570X. JSTOR 3029213. Zbl 0084.04202. doi:10.2307/3029213.
4. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A031157 (Numbers that are both lucky and prime). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.