希尔微分方程

希尔微分方程或是希尔方程是指以下的二阶常微分方程

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

其中f(t)为周期函数^[1]

希尔微分方程得名自1886年发现此方程的天文学家乔治·希尔^[2]

一般会假设f(t)的周期为π，则希尔方程可以改写为f(t)的傅里叶级数：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}$

希尔方程中特殊的例子有马丢方程（只对应n = 0, 1的情形）以及Meissner方程（英语：Meissner equation）。

在研究周期微分方程时，希尔微分方程是重要的范例。依照f(t)的不同，其解可能一直是有界的，也有可能其振荡的振幅会指数成长^[3]。Hill微分方程的准确解可以由弗洛凯理论描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希尔微分方程最早是应用在月球稳定性的研究，不过后来也用在许多其他的领域，包括四极杆质量分析器（英语：quadrupole mass spectrometer）的建模，像是晶体中电子的一维薛定谔方程等。

参考资料

1. Magnus, W.; Winkler, S. Hill's equation. Courier. 2013. ISBN 9780486150291.
2. Hill, G.W. On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon. Acta Math. 1886, 8 (1): 1–36. doi:10.1007/BF02417081.
3. Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. 2012 [2016-12-10]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始内容存档于2012-06-26）.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Hill equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韦斯坦因. Hill's Differential Equation. MathWorld.
• Wolf, G., Mathieu Functions and Hill’s Equation, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248