层次聚类

在数据挖掘和统计学中，层次聚类（英语：Hierarchical clustering）是一种旨在建立聚类的层次结构的聚类分析方法。层次聚类的策略通常有两种：

• 凝聚（Agglomerative clustering）：一种自底向上方法，从小集群开始，逐渐将其合并，形成更大的集群；
• 分裂（Divisive clustering）：一种自顶向下方法，从单个集群开始，递归地将其拆分成更小的集群。

凝聚和分离的操作通常用贪心算法实现，结果通常用树状图展示。^[1]

标准的凝聚层次聚类（Hierarchical agglomerative clustering，HAC）算法的时间复杂度为${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$，空间复杂度为${\displaystyle \Omega (n^{2})}$，这使它甚至难以应用于中等规模的数据集中。对于一些特殊情况，效率最优的算法（复杂度为${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}$）包括SLINK（用于单连接聚类，Single-linkage clustering）^[2]和CLINK（用于全连接聚类，Complete-linkage clustering）^[3]。当使用堆（Heap）时，一般情况下的时间复杂度降至${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2}\log n)}$，该改进以更多的内存需求为代价。这种改进方法的内存开销很多时候大到难以实际使用。

除了单连接聚类的特殊情况，除了穷举算法（复杂度${\displaystyle {\mathcal {O}}(2^{n})}$）外，没有算法可以保证找到最优解。

使用穷举算法的分裂方法的复杂度为${\displaystyle {\mathcal {O}}(2^{n})}$，不过可以通过更快的启发式方法（例如k-均值算法）进行分裂。

层次聚类的优点是可以采用任何有效的距离测量。当给定距离矩阵时，观测本身是没有必要的。

聚集层次聚类

原始数据

本节将对上图所示的原始数据进行聚集层次聚类（Agglomerative clustering），采取欧几里得距离度量距离。

下图展示了聚类结果的树状图：

聚类结果

在给定高度切割树，会得到一个特定精度的聚类结果。例如，在从上往下数的第二行切割会得到四个集群：{a}、{b, c}、{d, e}和{f}；在第三行切割会得到{a}、{b, c}、{d, e, f}，相比之前，这是一个更粗糙（coarser）的聚类结果，集群的数量更少但集群更大。

该方法合并单独的元素形成集群并得到层次（Hierarchy）。本例有六个元素（{a}、{b}、{c}、{d}、{e} 、{f}），第一步确定哪些元素合并到一个集群，判定标准通常是元素间的距离，选取两个最近的形成集群。

也可以在该步构建距离矩阵（矩阵的第i行第j列的数值为i-j元素之间的距离）。在聚类过程中，行、列被合并并形成新的距离。该方法为实现聚集层次聚类的通用方法，同时对缓存集群之间的距离有益。单连接聚类（英语：Single-linkage_clustering）是一个简单的聚集层次聚类方法。

在完成对距离最短元素b和c的合并后，形成的集群为：{a}、{b, c}、{d}、{e} 、{f}，对其进行进一步的合并需要度量集群{a}和{b, c}之间的距离（即两个集群间的距离）。通常将集群${\displaystyle {\mathcal {A}}}$和${\displaystyle {\mathcal {B}}}$之间的距离定义为：

• 两个集群的元素间的最大距离（又称全连接聚类（英语：Complete-linkage_clustering））：

${\displaystyle \max\{\,d(x,y):x\in {\mathcal {A}},\,y\in {\mathcal {B}}\,\}.}$

• 两个集群的元素间的最小距离（又称单连接聚类（英语：Single-linkage_clustering））：

${\displaystyle \min\{\,d(x,y):x\in {\mathcal {A}},\,y\in {\mathcal {B}}\,\}.}$

• 两个集群的元素间的平均距离（又称平均连接聚类（Average linkage clustering），在UPGMA方法中有应用）：

${\displaystyle {1 \over {|{\mathcal {A}}|\cdot |{\mathcal {B}}|}}\sum _{x\in {\mathcal {A}}}\sum _{y\in {\mathcal {B}}}d(x,y).}$

• 所有聚类内方差的总和
• 被合并的集群方差的增加量 （Ward法（英语：Ward%27s_method）^[4]）
• 候选聚类从同一分布函数生成的概率（V-linkage）

当若干对组合具有同样的距离且为最小时，可以随机选取一对形成集群（生成不同的树状图）；也可以同时形成不同的集群（生成唯一的树状图）。^[5]

聚类算法的停止准则可以取决于数量（当形成足够少的集群时停止）；也可以取决于距离（当两个集群之间的距离足够远，以至于不能形成新集群时停止）。

分裂层次聚类

DIANA（DIvisive ANAlysis Clustering）是分裂层次聚类的基础算法。^[6] 首先，所有元素归属同一个集群，然后分裂集群，直到所有元素都独立成群。由于存在${\displaystyle O(2^{n})}$种方法进行分裂，因此需要启发式（Heuristics）算法实现。DIANA选择平均异同度（Average dissimilarity）最大的元素，然后将所有与新集群相似度高于其余集群的元素划分到该集群。

软件

开源软件

• ALGLIB用C++和C#实现了多种层次聚类算法
• ELKI实现了多种层次聚类算法
• Julia在Clustering.jl包中实现了层次聚类^[7]
• Octave（GNU对MATLAB的兼容实现）实现了层次聚类（函数linkage）
• Orange（一个数据挖掘软件套件）实现了带有交互式树状图可视层次聚类
• R有内置的函数和包^[8]，提供层次聚类的函数
• SciPy在Python中实现了层次聚类
• Scikit-learn也在Python中实现了层次聚类
• Weka实现了层次聚类

商业软件

• MATLAB中有层次聚类分析
• SAS在PROC CLUSTER中包含层次聚类分析
• Mathematica有一个层次聚类包
• NCSS中实现了层次聚类分析
• SPSS中包括层次聚类分析
• Qlucore Omics Explorer中包括分层聚类分析
• Stata中包括层次聚类分析
• CrimeStat中实现了近邻层次聚类算法

参考文献

1. Nielsen, Frank. 8. Hierarchical Clustering. Introduction to HPC with MPI for Data Science. Springer. 2016: 195–211 [2023-03-05]. ISBN 978-3-319-21903-5. （原始内容存档于2021-04-17）.
2. R. Sibson. SLINK: an optimally efficient algorithm for the single-link cluster method (PDF). The Computer Journal (British Computer Society). 1973, 16 (1): 30–34 [2023-03-05]. doi:10.1093/comjnl/16.1.30 . （原始内容存档 (PDF)于2014-09-24）.
3. D. Defays. An efficient algorithm for a complete-link method. The Computer Journal (British Computer Society). 1977, 20 (4): 364–6. doi:10.1093/comjnl/20.4.364 .
4. Ward, Joe H. Hierarchical Grouping to Optimize an Objective Function. Journal of the American Statistical Association. 1963, 58 (301): 236–244. JSTOR 2282967. MR 0148188. doi:10.2307/2282967.
5. Fernández, Alberto; Gómez, Sergio. Solving Non-uniqueness in Agglomerative Hierarchical Clustering Using Multidendrograms. Journal of Classification. 2008, 25 (1): 43–65. S2CID 434036. arXiv:cs/0608049 . doi:10.1007/s00357-008-9004-x.
6. Kaufman, L.; Rousseeuw, P.J. 6. Divisive Analysis (Program DIANA). Finding Groups in Data: An Introduction to Cluster Analysis. Wiley. 2009: 253–279 [1990] [2023-03-06]. ISBN 978-0-470-31748-8. （原始内容存档于2023-03-06）.
7. Hierarchical Clustering · Clustering.jl. juliastats.org. [2022-02-28]. （原始内容存档于2023-03-05） （英语）.
8. hclust function - RDocumentation. www.rdocumentation.org. [2022-06-07]. （原始内容存档于2023-03-15） （英语）.