层化

在数学中层化有多种用法。

在数理逻辑中的层化

在数理逻辑中，层化是保证一个逻辑理论存在唯一形式释义的任何一致的数到谓词符号的指派。特别是，对于Horn子句理论，我们称一个理论是层化的，当且仅当有一个层化指派 S 满足下列条件:

(A) 如果谓词 P 是肯定的推导自谓词 Q，则 P 的层化数必定大于等于 Q 的层化数，简写为 ${\displaystyle S(P)\geq S(Q)}$。

(B) 如果谓词 P 推导自否定的谓词 Q，则 P 的层化数必定大于 Q 的层化数，简写为 ${\displaystyle S(P)>S(Q)\ }$。

层化只保证 Horn 子句理论的唯一释义。它被蒯因 (1937年)用来解决罗素悖论，它破坏了弗雷格的中心著作《Grundgesetze der Arithmetik》 (1902年)。

在新基础中的层化

在带有等式和成员关系的一阶逻辑的语言中，一个公式 ${\displaystyle \phi }$ 对新基础和有关集合论被称为是层化的，当且仅当有一个函数 ${\displaystyle \sigma }$ 以如下方式映射在 ${\displaystyle \phi }$ 中出现的每个变量(考虑为一个语法单位)到一个自然数(如果所有整数都使用则运做相当良好)，${\displaystyle \phi }$ 中出现的任何原子公式 ${\displaystyle x\in y}$ 满足 ${\displaystyle \sigma (x)+1=\sigma (y)\ }$ 而在 ${\displaystyle \phi }$ 中出现的任何原子公式 ${\displaystyle x=y}$ 满足 ${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)\ }$。

显然要求只在原子公式是约束于要考虑的集合抽象 ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ 中的时候满足这些条件就足够了。满足这个弱条件的集合抽象被称成弱层化。

新基础的层化推广到了带有更多谓词和带有项构造的语言。每个基本谓词都需要规定所需要的 ${\displaystyle \sigma }$ 在(弱)层化公式中的(约束)参数上的值之间的置换(displacement)。在带有项构造的语言中，项自身需要被指派在 ${\displaystyle \sigma }$ 下的值，带有它在(弱)层化公式中的每个(约束)参数上的值的固定置换。定义的项构造(可能只是含蓄的)使用描述理论来巧妙的处理: 项 ${\displaystyle (\iota x.\phi )\ }$ (x 使得 ${\displaystyle \phi }$) 必须被指派在 ${\displaystyle \sigma }$ 下同变量 x 同样的值。

一个公式是层化的，当且仅当有可能指派类型给在公式中出现的所有变量，以在新基础文章中描述的 TST 版本的类型论中有意义的方式。