尼文定理

尼文定理（Niven's theorem）说的是，在 0~90° 范围内，如果正弦函数 sin 的自变量和因变量都要求是有理数，那么答案只有^[1]：

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=0}$ 。

${\displaystyle \sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}}$ 。

${\displaystyle \sin 90^{\circ }=1}$ 。

若用弧度表示，需在0 ≤ x ≤ π/2的范围内，且要求x/π及sin x都是有理数。其结果是sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2 及 sin π/2 = 1。

此定义出现在伊万·尼云有关无理数的书中^[2]。

相关条目

• 勾股数：边长为勾股数的直角三角形，角度的正弦为有理数
• 三角函数
• 三角函数数

参考资料

1. Schaumberger, Norman. A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities. Two-Year College Mathematics Journal. 1974, 5: 73–76. JSTOR 3026991.
2. Niven, I. Irrational Numbers. Wiley. 1956: 41. MR 0080123.

• Weisstein, Eric W. "Niven's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

延伸阅读

• Olmsted, J. M. H. Rational values of trigonometric functions. Am. Math. Montly. 1945, 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540.
• Lehmer, Derik H. A note on trigonometric algebraic numbers. Am. Math. Monthly. 1933, 40 (3): 165–166. JSTOR 2301023.