在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设g及h 是 群G中的元素，他们的交换子是g −1 h −1 gh，常记为[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。
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一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。
群G中两个元素g和h的交换子为元素
- [g, h] = g−1h−1gh
它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即gh = hg）。
环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57394bd8df1218ed4fe4be88716d657ed3aee846)
；
其中；
、
均为量子力学的算符，![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e06b5842911bfd8dbb8890f05bb5bf9ae90ae7)
是其对易算符，也称交换子。
如果上式等于零，则称、是对易的，即意味着和两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。
量子力学中，交换子有以下特性:
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cef7b865023dbbf40833c3a3ef49634082e1fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91265f173314a577a8d79a23007739e37e58a9fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0b1377734a1894005c2b689bd41341fb181372)
![{\displaystyle [k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875f277b4e14aa8f38c00a3d4271c40775417d17)
![{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a497dd909a71fee526b5a92d6cab24a97969b9d8)
量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：
以下，
是位置算符、
是动量算符、
是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而
是克罗内克δ、
是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。
More information 
, 
...
| 对易关系 |
更具体的形式
|
|
、![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {y}}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fc246e393a20c5f612b2fc4149c8985eb28380)
|
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866693dbe80a3a82eb8008c95ba9769d539d44d8) |
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018d688c818207028d9e6cd1917e2c23556e1fe2) 、![{\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a67655abb2cb9f3065311648991102c74d5087)
|
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4c1fab8f5cb416b4257732b99639fdeb9dac0) |
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b381467bfc81a02730bc71641cb995e1937703c) 、![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37af5e6e81f00f1549fa26d17f7e47f9a660bf) 、![{\displaystyle [{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091546dba28a6ebc1d56d3ce61155d09154b4092) 、![{\displaystyle [{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bd63f22f87bba5f43e4d69b18adfce58d47f91)
|
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c450a1d388ca0d8d045536f52ad96e981c1eb2) |
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e89c5196ea3bfa9c2f08c58bc42627b279939c) 、![{\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276e5773ca5bec8f3d756a5c2442a7c8c258944) 、![{\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528d088a6497677773eef131ba66fda4780e44b2)
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相对于量子力学，经典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数
换成
：
这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，经典的观测量
其量子对应项
应满足
![{\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f908d28f895ef9dde7477023163ecb0416ded9)
。
于1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。
- Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, （原始内容存档于2021-07-09）
- Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics
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- Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
- Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
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- McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57394bd8df1218ed4fe4be88716d657ed3aee846)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e06b5842911bfd8dbb8890f05bb5bf9ae90ae7)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cef7b865023dbbf40833c3a3ef49634082e1fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91265f173314a577a8d79a23007739e37e58a9fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0b1377734a1894005c2b689bd41341fb181372)
![{\displaystyle [k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875f277b4e14aa8f38c00a3d4271c40775417d17)
![{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a497dd909a71fee526b5a92d6cab24a97969b9d8)
, 
...![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {y}}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fc246e393a20c5f612b2fc4149c8985eb28380)
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866693dbe80a3a82eb8008c95ba9769d539d44d8)
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018d688c818207028d9e6cd1917e2c23556e1fe2)
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a67655abb2cb9f3065311648991102c74d5087)
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4c1fab8f5cb416b4257732b99639fdeb9dac0)
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b381467bfc81a02730bc71641cb995e1937703c)
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37af5e6e81f00f1549fa26d17f7e47f9a660bf)
![{\displaystyle [{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091546dba28a6ebc1d56d3ce61155d09154b4092)
![{\displaystyle [{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bd63f22f87bba5f43e4d69b18adfce58d47f91)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c450a1d388ca0d8d045536f52ad96e981c1eb2)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e89c5196ea3bfa9c2f08c58bc42627b279939c)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276e5773ca5bec8f3d756a5c2442a7c8c258944)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528d088a6497677773eef131ba66fda4780e44b2)
![{\displaystyle [x,p]=i\hbar }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda495e8923de3bce36ce44894a0f55a12b291e)
![{\displaystyle [x,p]=xp-px}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52505a55ee163af3eb7cff200b6941c53ef1cd)
![{\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f908d28f895ef9dde7477023163ecb0416ded9)
