对数微分法（英语：Logarithmic differentiation）是在微积分学中，通过求某函数f的对数导数来求得函数导数的一种方法， [1]
![{\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b7de91cd8aa179e45a630cef367c78239b62b3)
这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差[2][3]。这一方法可以应用于所有恒不为0的可微函数。
对于某函数
运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数[4]。
运用隐式微分法[5]，可得
两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：
对数微分法有用，是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分[6]，常用的对数性质有：[3]
有一如下形式的函数，
两边取自然对数，得
两边对x求导，得
![{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36c147dcca7d2378a3e0e964ca18568639d44fa)
两边同乘以
，可得原函数的导数为
![{\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72623945515101eff3fc5880c909c33c56e63aba)
对如下形式的两个函数的商函数
两边取自然对数，可得如下形式的差函数
应用链式法则，两边求导，得
整理，可得
右边通分之后，结果和对运用除法定则所得结果相同。
对于如下形式的函数
两边取自然对数，可得如下形式的积函数
应用链式法则，两边求导，得
整理，得
与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。
![{\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b7de91cd8aa179e45a630cef367c78239b62b3)
![{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36c147dcca7d2378a3e0e964ca18568639d44fa)
![{\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72623945515101eff3fc5880c909c33c56e63aba)
