威尔逊定理

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由拉格朗日首次证明^[1]。

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为质数的充分必要条件。即：当且仅当${\displaystyle p}$为质数时：

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)}$

证明

充分性

如果 ${\displaystyle p}$ 不是质数，那么它的正因数必然包含在整数 ${\displaystyle 2,3,4,\cdots ,p-1}$ 中，因此 ${\displaystyle \gcd((p-1)!\ ,p)>1}$ ，所以不可能得到 ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$。

必要性

若${\displaystyle p}$是质数，取集合 ${\displaystyle A=\left\{1,2,3,...p-1\right\}}$， 则${\displaystyle A}$构成模${\displaystyle p}$乘法的缩系，即任意 ${\displaystyle i\in A}$，存在 ${\displaystyle j\in A}$，使得：

${\displaystyle (ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$

这几乎说明${\displaystyle A}$中的元素恰好两两配对。仅有满足

${\displaystyle x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$

的元素${\displaystyle x}$是例外。

上式解得

${\displaystyle x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$

或

${\displaystyle x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}}$

其余两两配对，故而

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ 1\times (p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$

若${\displaystyle p}$不是质数且大于4， 则易知有${\displaystyle d=\gcd[p,(p-1)!]=p,}$

故而

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$

推论

可以借此推论${\displaystyle (p-2)!\equiv 1{\pmod {p}}}$如下：

${\displaystyle (p-2)!\equiv -(p-1)(p-2)!\equiv -(p-1)!\equiv 1{\pmod {p}}}$

参考文献

1. Joseph Louis Lagrange. Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers [某条质数新定理的证明]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin). 1771, 2: 125–137 [2021-11-08]. （原始内容存档于2022-05-11） （法语）.