多普勒致宽

在原子物理学中，多普勒增宽（Doppler broadening）是因为原子或分子的运动速度分布产生的多普勒效应造成谱线增宽的现象。自发发射分子的不同运动速度造成了不同的多普勒位移，而这些效应的线性累积结果就是谱线增宽^[1]。因为以上效应产生的线型轮廓即为多普勒轮廓（Doppler profile）。一个特别的，也可能最重要的状况是因为粒子热运动而发生的热多普勒增宽。接着，谱线增宽程度只取决于谱线的频率、谱线发射分子的质量、温度；因此多普勒增宽可用以推测辐射体的温度。

饱和吸收光谱（或称为无多普勒光谱学，Doppler-free spectroscopy）可用来发现原子跃迁的真实频率而不需要将样品降温至多普勒增宽效应最低的温度值^[2]。

公式推导

当热能造成分子热运动并且方向朝向观测者时，分子发射的辐射频率将会增加。同样，当辐射体远离观测者时，辐射频率将降低。在非相对论性的热运动速度下。频率的多普勒位移将是：

${\displaystyle f=f_{0}\left(1+{\frac {v}{c}}\right)}$

${\displaystyle \ f}$ 是观测者所见辐射的频率、${\displaystyle \ f_{0}}$ 是辐射体静止时发射辐射的频率、${\displaystyle \ v}$ 是辐射体相对观测者的运动速度、${\displaystyle c}$ 是光速。

因为在任一辐射体内的气体分子运动速度在接近到远离观测者范围内均有分布，各分子多普勒效应加成的净效应将使被观测到的光谱谱线增宽。如果 ${\displaystyle \,P_{v}(v)dv}$ 是拥有沿着观测者视线方向速度分量 ${\displaystyle \,v}$ 到 ${\displaystyle \,v+dv}$ 的一定数量分子，那么对应频率的分子速度分布计算式为：

${\displaystyle P_{f}(f)df=P_{v}(v_{f}){\frac {dv}{df}}df}$

这里 ${\displaystyle \,v_{f}=c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)}$ 是朝向观测者的速度对应分子从静止到运动速度时频率从 ${\displaystyle \,f_{0}}$ 改变为 ${\displaystyle \,f}$。因此：

${\displaystyle P_{f}(f)df={\frac {c}{f_{0}}}P_{v}\left(c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)\right)df}$

前述关系式也可以使用波长 ${\displaystyle \,\lambda }$ 来表示。回顾在非相对论极限 ${\displaystyle {\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}\approx -{\frac {f-f_{0}}{f_{0}}}}$，可以推导为：

${\displaystyle P_{\lambda }(\lambda )d\lambda ={\frac {c}{\lambda _{0}}}P_{v}\left(c\left(1-{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}\right)\right)d\lambda }$

在热多普勒增宽状况下，分子运动速度遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布：

${\displaystyle P_{v}(v)dv={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv}$

此处 ${\displaystyle \,m}$ 是运动分子质量，${\displaystyle \,T}$ 是温度，${\displaystyle \,k}$ 则是玻尔兹曼常数。

接着关系式成为：

${\displaystyle P_{f}(f)df=\left({\frac {c}{f_{0}}}\right){\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {m\left[c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)\right]^{2}}{2kT}}\right)df}$

可将关系式简化为：

${\displaystyle P_{f}(f)df={\sqrt {\frac {mc^{2}}{2\pi kT{f_{0}}^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {mc^{2}\left(f-f_{0}\right)^{2}}{2kT{f_{0}}^{2}}}\right)df}$

接着可立即发现高斯函数的标准差可以表示为：

${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\frac {kT}{mc^{2}}}}f_{0}}$

以及半峰全宽（FWHM）关系式如下：

${\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}={\sqrt {\frac {8kT\ln 2}{mc^{2}}}}f_{0}}$

应用与注意事项

氢（蓝线）和氧（红线）在不同温度时多普勒增宽关系。

在天文学和等离子体物理学中，多普勒增宽是谱线变宽的其中一项解释，并可借此得知被观测物质的温度。这里要提出的是，其他造成不同分子运动速度分布的原因也可能存在，例如湍流运动。完整发育的湍流产生的谱线是相当难以和热效应形成的谱线区分的^[3]。另一个造成谱线增宽的可能原因是巨观范围内气体分子的速度分布，例如快速旋转的吸积盘内分子会在观测者视线上快速前进或后退。最后，也有许多其他原因可使谱线增宽，例如足够高的粒子数密度（英语：Number density）可以产生显著的斯塔克增宽。

在高温核反应堆的设计上也考虑到多普勒增宽的相关效应。原则上，核反应堆内的核燃料温度升高时，中子吸收光谱将会因为核燃料原子相对中子的热运动而增宽。给定了中子吸收光谱之后，中子截面就可以下降，减少中子被吸收和核裂变可能性。最终结果就是反应堆设计者可利用多普勒增宽在温度上升时降低核裂变反应程度，可作为被动核安全（英语：Passive nuclear safety）措施。这状况更常见于气冷反应堆（英语：Gas-cooled reactor），而轻水反应堆的被动核安全则主要是由其他机制主导^[4]。

参见

• 穆斯堡尔效应
• 迪克效应（英语：Dicke effect）

参考资料

1. Siegman, AE. Lasers. 1986 [2014-06-25]. （原始内容存档于2012-02-23）.
2. Daryl W. Preston. Doppler-free saturated absorption: Laser spectroscopy (PDF). American Journal of Physics. November 1996, 64 (11): 1432–1436 [2014-06-27]. Bibcode:1996AmJPh..64.1432P. doi:10.1119/1.18457. （原始内容存档 (PDF)于2010-07-11）.
3. Griem, Hans R. Principles of Plasmas Spectroscopy. Cambridge: University Press. 1997. ISBN 0-521-45504-9.
4. Doppler broadening induced spectral shift effects on reactor safety. [2014-06-27]. （原始内容存档于2021-07-29）.

延伸阅读

• Broadening of Spectral Lines （页面存档备份，存于互联网档案馆）