欧拉公式

欧拉公式（英语：Euler's formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数 ${\displaystyle x}$，都存在

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

此条目介绍的是复分析中的欧拉公式。关于代数拓扑或者多面体的欧拉公式，请见“欧拉示性数”。

提示：此条目页的主题不是欧拉定理。

其中 ${\displaystyle e}$ 是自然对数的底数，${\displaystyle i}$ 是虚数单位，而 ${\displaystyle \cos }$ 和 ${\displaystyle \sin }$ 则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 ${\displaystyle x}$ 则以弧度为单位^[1]。这一复数指数函数有时还写作 cis x （英语：cosine plus i sine，余弦加i 乘以正弦）。由于该公式在 ${\displaystyle x}$ 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式^[2]。

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”^[3]。

当 ${\displaystyle x=\pi }$ 时，欧拉公式变为${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，即欧拉恒等式。

在复分析的应用

这公式可以说明当 ${\displaystyle x}$ 为实数时，函数 ${\displaystyle e^{ix}}$ 可在复数平面描述一单位圆。且 ${\displaystyle x}$ 为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数 ${\displaystyle z=x+yi}$ 皆可记为

${\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}$

${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}$

在此

${\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,}$为实部

${\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,}$为虚部

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$为 ${\displaystyle z}$ 的模

${\displaystyle \phi =\mathrm {atan2} {(y,x)}}$，其中 ${\displaystyle \mathrm {atan2} {(y,x)}={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y\geq 0,x<0\\-\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y<0,x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$

历史

约翰·伯努利注意到有^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$

并且由于

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于复对数的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，罗杰·柯特斯（英语：Roger Cotes）于 1714 年发现^[5]

${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表^[6][5]。

大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。

形式

参见：欧拉恒等式

对于任意实数${\displaystyle x\,}$，以下等式恒成立：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

由此也可以推导出

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$及${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$。

当${\displaystyle x=\pi \,}$时，欧拉公式的特殊形式为

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$。

证明

首先，在复数域上对${\displaystyle e^{x}\,}$进行定义：

对于${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,c=a+ib\in \mathbb {C} }$，规定${\displaystyle e^{c}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {c}{n}})^{n}}$。

对复数的极坐标表示${\displaystyle w=u+iv=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$，有：

${\displaystyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\in \mathbb {R} ,\theta =\arctan({\frac {v}{u}})\in \mathbb {R} }$

且根据棣莫弗公式，${\displaystyle w^{n}=(u+iv)^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}$

从而有：

${\displaystyle (1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=[(1+{\frac {a}{n}})+i{\frac {b}{n}}]^{n}=r_{n}(\cos \theta _{n}+i\sin \theta _{n})}$

假设${\displaystyle n>|a|}$，则：

${\displaystyle r_{n}=[(1+{\frac {a}{n}})^{2}+({\frac {b}{n}})^{2}]^{\frac {n}{2}},\theta _{n}=n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}}}$

（由于包含n在幂，所以要ln）从而有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\ln r_{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}\ln(1+{\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}({\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=a\\\end{aligned}}}$

这一步骤用到 ${\displaystyle \ln(1+x)\approx x}$（墨卡托级数）

即：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }e^{\ln r_{n}}=e^{a}}$

又有(arctan x 约等于x 于0附近）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\theta _{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n{\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=b\\\end{aligned}}}$

从而可以证明：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

即：

${\displaystyle e^{a+ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

令${\displaystyle a=0}$，可得欧拉公式。

证毕。^[7]

验证方法

方法一：泰勒级数

把函数${\displaystyle e^{x}\,}$、${\displaystyle \cos x\,}$和${\displaystyle \sin x\,}$写成泰勒级数形式：

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

将${\displaystyle x=iz\,}$代入${\displaystyle e^{x}\,}$可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}$

方法二：求导法

对于所有${\displaystyle x\in I}$，定义函数${\displaystyle f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}}$

由于${\displaystyle e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1}$

可知${\displaystyle e^{ix}\,}$不可能为0，因此以上定义成立。

${\displaystyle f(x)\,}$之导数为：

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=0\end{aligned}}}$

设${\displaystyle [a,b]\in I}$和${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$（拉格朗日中值定理）

${\displaystyle \because f'(x)=0}$

${\displaystyle \therefore f'(c)=0}$

${\displaystyle f(a)=f(b)}$

因此${\displaystyle f(x)\,}$必是常数函数。

${\displaystyle f(x)=f(0)}$

${\displaystyle }$

${\displaystyle {\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1}$

重新整理，即可得到：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

方法三：微积分

找出一个原函数${\displaystyle y(x)}$，使得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=iy}$及${\displaystyle y(0)=1}$。

假设 ${\displaystyle y(x)=e^{ix}}$，有：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{ix}=ie^{ix}=iy}$

假设 ${\displaystyle y(x)=i\sin x+\cos x}$，有：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)&=-\sin x+i\cos x\\&=i(i\sin x+\cos x)\\&=iy\end{aligned}}}$

使用积分法，可得${\displaystyle iy}$的原函数是以上两个函数分别与任意实数的和，分别记为：

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{ix}+C_{1}}$

${\displaystyle y_{2}(x)=\cos x+i\sin x+C_{2}}$

其中，${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$和:${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$是任意实数。

又${\displaystyle x=0}$时，${\displaystyle y(0)=1}$，观察到：

${\displaystyle y_{1}(0)=e^{i0}+C_{1}=e^{0}+C_{1}=1+C_{1}}$

${\displaystyle y_{2}(0)=\cos 0+i\sin 0+C_{2}=1+i(0)+C_{2}=1+C_{2}}$

所以${\displaystyle C_{1}=C_{2}=0}$，可以得出：

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=e^{ix}=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}$

cis函数

主条目：cis函数

在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$

并且一般定义域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}$，值域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}$（复平面上的所有单位向量）。

当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

当${\displaystyle \theta }$值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。^[2]

检验和角公式

由于${\displaystyle e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }$且${\displaystyle e^{i\beta }=\cos \beta +i\sin \beta }$，则有

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i(\alpha +\beta )}&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )=e^{i\alpha +i\beta }\\&=e^{i\alpha }\times e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \times \cos \beta +i\sin \alpha \times i\sin \beta )+(i\sin \alpha \times \cos \beta +\cos \alpha \times i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\\\end{aligned}}}$

实部等于实部，虚部等于虚部，因此

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

参见

• cis函数
• 欧拉恒等式

参考资料

1. Eulers Formula. 密苏里科技大学. [2021-06-13]. （原始内容存档于2020-02-21）.
2. Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.
3. Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
4. Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702: 197–289.
5. John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002 [2018-07-17]. （原始内容存档于2019-06-04）.
6. Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle （页面存档备份，存于互联网档案馆） of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
7. 张筑生. 数学分析新讲（第一册）第七章 4.实变复值函数. 北京大学出版社. 1990.