埃伦费斯特定理

在量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$；

保罗·埃伦费斯特。

其中，${\displaystyle A}$ 是某个量子算符，${\displaystyle \langle A\rangle }$ 是它的期望值，${\displaystyle H}$ 是哈密顿算符，${\displaystyle t}$ 是时间，${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数。

埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 ${\displaystyle i\hbar }$ ，再取 ${\displaystyle i\hbar }$ 趋向于 0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。

薛定谔绘景下的推导

假设，一个物理系统的量子态为 ${\displaystyle \Phi (x,\ t)}$ ，则算符 ${\displaystyle A}$ 的期望值对于时间的导数为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}}$

薛定谔方程表明哈密顿算符 ${\displaystyle H}$ 与时间 ${\displaystyle t}$ 的关系为

${\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}}$ 。

其共轭为

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}}$ 。

因为哈密顿算符是厄米算符，${\displaystyle H^{*}=H}$ ，所以，

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H}$ 。

将这三个方程代入 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle }$ 的方程，则可得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

所以，埃伦费斯特定理成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

有时算符 ${\displaystyle A}$ 不随时间变化，则 ${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 等于零。

海森堡绘景下的推导

海森堡绘景下的推导更为直接。有海森堡运动方程

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}A={\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A,H]}$

直接取等式两边的算子的期望值可得

${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle }$

等式左边的态矢量不含时，因此可以把 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ 一项移到狄拉克符号外，因此有

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle }$

实例

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

守恒的哈密顿量

考虑哈密顿算符 ${\displaystyle H}$ ：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

假若，哈密顿量显性地不含时间，${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0}$ ，则

${\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}}$ ，

哈密顿量是个常数${\displaystyle H_{0}}$ 。

位置的期望值对于时间的导数

试想一个质量为 ${\displaystyle m}$ 的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是

${\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)}$ ;

其中，${\displaystyle x}$ 为位置，${\displaystyle p}$ 是动量，${\displaystyle V}$ 是位势。

应用埃伦费斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle }$。

由于 ${\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p}$ ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle }$。

这样，可以得到动量 ${\displaystyle p}$ 的期望值。

动量的期望值对于时间的导数

应用埃伦费斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

由于 ${\displaystyle p}$ 与自己互相交换，所以，${\displaystyle [p,\ p^{2}]=0}$ 。又在坐标空间里，动量算符 ${\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$ 不含时间：${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0}$ 。所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle }$ 。

将泊松括号展开，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx}$ 。

使用乘法定则，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle }$ 。

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 ${\displaystyle F}$ 的期望值。

经典极限

取经典极限^[2]，${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$ ，则可得到一组完全的量子运动方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle }$ ，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$ 。

这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v}$ ，

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$ 。

取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 ${\displaystyle V\,'(x)}$ 为 ${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$ 。设定 ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}}$ 。泰勒展开 ${\displaystyle V\,'(x)}$ 于 ${\displaystyle x_{0}}$ ：

${\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots }$ 。

由于 ${\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0}$ ，${\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}}$ ，

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})}$ 。

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：

1. 一个是量子态对于位置的不可确定性。
2. 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

参阅

• 维里定理

参考文献

1. Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238. 引文格式1维护：冗余文本 (link)