平方平均数

平方平均数（英语：quadratic mean），又称均方根（或方均根，root mean square，缩写为RMS），是均方（一组数字平方的算术平均数）的平方根^[1]，是2次方的广义平均数的表达式，也可叫做2次幂平均数。其计算公式是：

${\displaystyle M={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2} \over n}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2} \over n}}}$

在连续函数${\displaystyle {\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}}$的区间${\displaystyle {\begin{smallmatrix}[a,b]\end{smallmatrix}}}$内，其均方根定义为：

${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {b-a}}{\int _{a}^{b}{[f(x)]}^{2}\,dx}}}}$

应用

均方根常用来计算一组数据和某个数据的“平均差”。像交流电的电压、电流数值以及均匀加速直线运动的位移中点平均速度，都是以其实际数值的均方根表示。例如“220 V交流电”表示电压讯号的均方根（又称为有效值）为220 V，此为交流电瞬时值（瞬时值又称暂态值）的最大值（峰值）的${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$。

另外，统计学中的标准差 ${\displaystyle {\bar {s}}}$，就是所有数据${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$和平均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$相减后的数据

${\displaystyle x_{1}-{\bar {x}},x_{2}-{\bar {x}},...,x_{n}-{\bar {x}}}$

的均方根

${\displaystyle {\bar {s}}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}}}$

适用模型

均方根值并非所有模型均适用，只有在数值分布呈现正态分布时才适用。如果分布呈现方波、三角波，就要用其他的公式，否则失真会很大。

参见

• 算术平均数
• 几何平均数
• 调和平均数
• 算术-几何平均数
• 平均数不等式
• 最小二乘法
• 均方差
• 数学符号表

参考文献

1. Root-mean-square value. A Dictionary of Physics (6 ed.). Oxford University Press. 2009 [2022-06-16]. ISBN 9780199233991. （原始内容存档于2022-01-25）.