品质因子

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品质因子或Q因子是物理及工程中的无量纲参数，是表示振子阻尼性质的物理量^[1]，也可表示振子的共振频率相对于带宽的大小^[2]， 高Q因子表示振子能量损失的速率较慢，振动可持续较长的时间，例如一个单摆在空气中运动，其Q因子较高，而在油中运动的单摆Q因子较低。高Q因子的振子一般其阻尼也较小。

一阻尼谐振子的带宽, ${\displaystyle \Delta f}$可以用频率和能量的图来表示。阻尼谐振子（或滤波器）的Q因子为${\displaystyle f_{0}/\Delta f}$。Q因子越大，其波峰高度会越高，而其宽度会越窄

说明

Q因子较高的振子在共振时，在共振频率附近的振幅较大，但会产生的共振的频率范围比较小，此频率范围可以称为带宽。例如一台无线电接收器内的调谐电路Q因子较高，要调整接收器对准一特定频率会比较困难，但其选择性（英语：selectivity (electronic)）较好，在过滤频谱上邻近电台的信号上也有较佳的效果。Q因子较高的振子会产生共振的频率范围较小，也比较稳定。

系统的Q因子可能会随着应用场合及需求的不同而有大幅的差异。强调阻尼特性的系统（例如防止门突然关闭的阻尼器）其Q因子为1⁄2，而时钟、激光或是其他需要强烈共振或是要求频率稳定性的系统其Q因子也较高。音叉的Q因子大约为1000，原子钟、加速器中的超导射频（英语：Superconducting Radio Frequency）或是光学共振腔的Q因子可以到10^11[3]甚至更高^[4]。

Q因子的概念是来自电子工程中，评量一调谐电路或其他振子的“品质”。

定义

Q因子可定义为在一系统的共振频率下，当信号振幅不随时间变化时，系统储存能量和每个周期外界所提供能量的比例（此时系统储存能量也不随时间变化）：

${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}}.\,}$

大部分的共振系统都可以用二阶的微分方程表示，Q因子中2π的系数，使Q因子可以表示成只和二阶微分方程系数有关的较简单型式。在电机系统中，能量会储存在理想无损失的电感及电容中，损失的能量则是每个周期由电阻损失能量的总和。力学系统储存的能量是该时间动能及势能的和，损失的能量则是因为摩擦力或阻力所消耗的能量。

针对高Q因子的系统，也可以用下式计算的Q因子，在数学上也是准确的：

${\displaystyle Q={\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},\,}$

其中f_r为共振频率，Δf为带宽，ω_r = 2πf_r是以角频率表示的共振频率，Δω是以角频率表示的带宽

在像电感等储能器件的规格中，会用到和频率有关的Q因子，其定义如下^[5]：

${\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}},\,}$

其中ω是计算储存能量和功率损失时的角频率。若电路中只有一个储能器件（电感或是电容），也可用上式来定义Q因子，此时Q因子会等于无功功率相对有功功率的比例。

Q因子及阻尼

主条目：阻尼和线性时不变系统理论

Q因子可决定一个简单阻尼谐振子的量化特性（有关数学的细节及不同系统的行为，请参考谐振子及线性时不变系统理论等条目）。

• 低Q因子的系统（Q < ½）是过阻尼系统。过阻尼系统不会振荡，当偏离稳态输出平衡点时，会以指数衰减的方式，渐近式的回到稳态输出。其冲激响应是二个不同速度的指数衰减函数的和。当Q因子减少时，衰减较慢的响应函数其影响会变明显，因此整个系统会变慢。一个Q因子很低的二阶系统其步阶响应类似一阶系统。

• 高Q因子的系统（Q > ½）是欠阻尼系统。欠阻尼系统在特定频率的输入下，其输出会振荡，其振幅也会指数衰减。Q因子略高于½的系统可能会振荡一或二次。若Q因子提高，阻尼的效果也会降低。高品质的钟在敲击后可以长时间发出单一音调的声音，没有阻尼的谐振系统其Q因子是无限大，类似一个敲击后可永远发出声音的钟。若二阶低通滤波器有很高的Q因子，其步阶响应一开始会快速上升，在平衡点附近震荡，最后才收敛到稳态的值。

• Q因子为½的系统是临界阻尼系统。临界阻尼系统和过阻尼系统一様不会震荡，也不会有过冲的情形。临界阻尼系统和欠阻尼系统一様，会对阶跃有快速的响应，临界阻尼可以使系统在不过冲的条件下有最快的反应，实际的系统若要求更快的反应，一般会允许一定程度的过冲，若系统不允许过冲，可能会使反应时间放慢，以提供一定的安全系数。

在负回授系统中，闭回路系统的响应常常用二阶系统来表示。设定开回路系统的相位裕度可以决定闭回路系统的Q因子，当相位裕度减少时，对应的二阶闭回路系统振荡会变大，也就是Q因子提高。

常见系统的Q因子

• 单位增益的Sallen–Key拓扑结构（英语：Sallen–Key filter topology）滤波器为临界阻尼系统，Q因子为${\displaystyle 1/2}$)^{[来源请求]}。
• 巴特沃斯滤波器（有最平坦通带频率响应的的连续时间滤波器）为欠阻尼系统，Q因子为${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$^[6]。
• 贝塞尔滤波器（有最平坦群延迟的连续时间滤波器）为欠阻尼系统，Q因子为${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$^{[来源请求]}。

Q因子的物理意涵

根据物理学，Q因子等于${\displaystyle 2\pi }$乘以系统储存的总能量，除以单一周期损失的能量，也可以表示为系统储存的总能量和单位弪度损失能量的比值。^[7]

Q因子是无量纲的参数，是比较系统振幅衰减的时间常数和振荡周期后的结果。当Q因子数值较大时，Q因子可近似为系统从开始振荡起，一直到其能量剩下原来的 ${\displaystyle 1/e^{2\pi }}$（约1/535或0.2%），中间历经的振荡次数^[8]。

共振的带宽可以用下式表示

${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{0}}{Q}}\,}$,

其中${\displaystyle f_{0}}$为共振频率，${\displaystyle \Delta f}$为带宽，也就是能量超过峰值能量一半以上的频率范围。

Q因子、阻尼比ζ及衰减率α之间有以下的关系^[9]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{0}}.}$

因此Q因子可表示为

${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\omega _{0} \over 2\alpha },}$

而指数衰减率可表示为

${\displaystyle \alpha =\zeta \omega _{0}={\omega _{0} \over 2Q}.}$

二阶低通滤波器的响应函数可以用下式来表示^[9]

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{0}}{Q}} _{2\zeta \omega _{0}=2\alpha }s+\omega _{0}^{2}}}\,}$

若此系统的${\displaystyle Q>0.5}$（欠阻尼系统），系统有二个共轭复数极点，其实部为${\displaystyle \alpha }$。衰减参数${\displaystyle \alpha }$表示其冲激响应指数衰减的速率。Q因子大表示其衰减率较慢，因此Q因子很大的系统可以持续振荡较长的时间。例如高Q因子的钟，用锤子敲击后，其输出近似纯音，且可以维持很长的时间。

电子系统

滤波器振幅增益的图，其中标示带宽为增益值为-3 dB的宽度，增益约为0.707倍，能量是峰值的一半。图中的频率轴可以是线性尺度或是对数尺度。

对电子共振系统而言，Q因子表示电阻的影响，若针对机电共振系统（例如石英晶体谐振器），也包括摩擦力的影响。

RLC电路

理想串联RLC电路的Q因子为：^[10]

$${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}$$

其中${\displaystyle R}$、${\displaystyle L}$及${\displaystyle C}$分别是电路的电阻、电感和电容，若电阻值越大，Q因子越小。

并联RLC电路的Q因子恰为对应串联电路Q因子的倒数：^[11]

$${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}$$

若将电阻、电感和电容并联形成一电路，并联电阻值越小，其阻尼的效果越大，因此Q因子越小。

若是电感和电容并联的电路，而主要损失是电感内，和电感串联的电阻R，其Q因子和串联RLC电路相同，此时降低寄生电阻R可以提升Q因子，也使带宽缩小到需要的范围内。

储存器件

个别储存器件的Q因子和对应信号频率有关，一般是电路的共振频率。电感器的Q因子为^[12]：

${\displaystyle Q={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega L}{R_{L}}}}$

其中：

• ${\displaystyle \omega }$为频率。
• ${\displaystyle L}$为电感。
• ${\displaystyle X_{L}}$为电感器的感抗。
• ${\displaystyle R_{L}}$为电感内的电阻。

电容器的Q因子为^[12]：

${\displaystyle Q={\frac {X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega CR_{C}}}}$

其中:

• ${\displaystyle \omega }$为频率。
• ${\displaystyle C}$为电容。
• ${\displaystyle X_{C}}$为电容器的容抗。
• ${\displaystyle R_{C}}$为电容内的电阻。

力学系统

对于一个有阻尼的质量－弹簧系统，可以用Q因子表示简化的黏滞阻尼或阻力对系统的影响，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此系统的Q因子可以用下式表示：

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}$

其中M是质量，k是弹簧常数，而D是阻力系数，可用下式来定义：

${\displaystyle F_{\text{damping}}=-Dv}$

其中${\displaystyle F_{\text{damping}}}$是阻力，${\displaystyle v}$是速度^[13]。

激光系统

激光系统中，光学共振腔的Q因子可以用下式表示

${\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,{\mathcal {E}}}{P}},\,}$

其中${\displaystyle f_{o}}$为共振频率，${\displaystyle {\mathcal {E}}}$为共振腔中储存的能量，${\displaystyle P=-{\frac {dE}{dt}}}$为耗散的能量。光学共振腔的Q因子等于共振频率和共振腔带宽的比值。共振光子的平均寿命和Q因子成正比，若激光共振腔中的Q因子突然地调高，共振腔会输出激光脉冲，其强度远高于平常共振腔连结输出的强度，此技术称为为Q切换。

相关条目

• 阻尼比
• 衰减率（英语：Attenuation）
• 相位裕度
• 带宽
• 品质因子表（英语：Q meter）
• 散逸因数（英语：Dissipation factor）

参考资料

1. James H. Harlow. Electric power transformer engineering. CRC Press. 2004: 2–216. ISBN 978-0-8493-1704-0.
2. Michael H. Tooley. Electronic circuits: fundamentals and applications. Newnes. 2006: 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8.
3. Encyclopedia of Laser Physics and Technology:Q factor. [2012-03-28]. （原始内容存档于2009-02-24）.
4. Time and Frequency from A to Z: Q to Ra. [2012-03-28]. （原始内容存档于2008-05-04）.
5. James W. Nilsson. Electric Circuits. 1989. ISBN 0-201-17288-7.
6. 存档副本 (PDF). [2012-03-31]. （原始内容存档 (PDF)于2013-07-31）.
7. Jackson, R. Novel Sensors and Sensing. Bristol: Institute of Physics Pub. 2004: 28. ISBN 0-7503-0989-X.
8. Benjamin Crowell. Vibrations and Waves. Light and Matter online text series. 2006 [2012-04-03]. （原始内容存档于2011-04-08）., Ch.2
9. William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press.
10. U.A.Bakshi; A.V.Bakshi. Electric Circuits. Technical Publications. 2008: 2–79. ISBN 9788184314526 （英语）.^{[失效链接]}
11. 存档副本. [2012-04-02]. （原始内容存档于2012-01-10）.
12. 存档副本 (PDF). [2012-04-03]. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-25）.
13. Methods of Experimental Physics – Lecture 5: Fourier Transforms and Differential Equations (PDF). [2012-03-27]. （原始内容 (PDF)存档于2012-03-19）.