卢卡斯数

卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。

但是，最初两个卢卡斯数是L₀ = 2和L₁ = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同。

卢卡斯数可以定义如下：

${\displaystyle L_{n}=L(n)={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

前几个卢卡斯数是：

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... （OEIS数列A000032）

延伸到负数

用L_n-2 = L_n - L_n-1的公式，我们可以把卢卡斯数延伸到负数。这样我们得到以下数列：

(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)

一般地，我们有

• ${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

与斐波那契数的关系

卢卡斯数与斐波那契数有以下关系：

• ${\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}$
• ${\displaystyle \,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$，因此，当${\displaystyle n\,}$趋近于无穷大时，${\displaystyle L_{n} \over F_{n}\,}$趋近于${\displaystyle {\sqrt {5}}\,}$。
• ${\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

通项公式为：

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

其中${\displaystyle \varphi }$是黄金分割比。

同余关系

如果n是素数，则L_n被n除余1，但某些合数也具有这个性质。

卢卡斯素数

卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。最小的几个卢卡斯素数为：

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... （OEIS数列A005479）

除了n = 0、4、8、16的情况外，如果L_n是素数，则n是素数。但是，它的逆命题不成立。

参考

• 卢卡斯数列

参考文献

• Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

外部链接

• MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Dr Ron Knott
• 卢卡斯数与黄金分割
• 卢卡斯数计算器