伪黎曼流形

伪黎曼流形，也称为半黎曼流形（英语：Pseudo-Riemannian manifold）^[1][2]，在微分几何中是指一光滑流形，其上有一光滑、对称、点点非退化的${\displaystyle (0,2)}$ 张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量。

伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定（通常要求非退化）。因为每个正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量，亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。

每一个非退化对称，双线性形式有一个固定的度量符号${\displaystyle (p,q)}$。这里${\displaystyle p}$与${\displaystyle q}$记作正特征值及负特征值的个数。注意${\displaystyle p+q=n}$是流形的维数。黎曼流形就是以${\displaystyle (n,0)}$作为符号。

伪黎曼流形的符号${\displaystyle (p,1)}$称为洛伦兹度量。拥有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外，洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子类。因为它常被用于广义相对论。广义相对论首要假设是时空可以转为拥有${\displaystyle (3,1)}$符号的洛伦兹流形的模型。

和欧几里得空间${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$可以被认为是黎曼流形的模型一样，,有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space) ${\displaystyle \mathbf {R} ^{p,1}}$是洛伦兹流形的模型空间。特征数为${\displaystyle (p,q)}$的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的${\displaystyle \mathbf {R} ^{p,q}}$:

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量；因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。

参考资料

1. Benn & Tucker (1987) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFBennTucker1987 (帮助), p. 172.
2. Bishop & Goldberg (1968) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFBishopGoldberg1968 (帮助), p. 208