割圆术 (赵友钦)

赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始^[1]。

赵友钦割圆术

赵友钦《革象新书》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影

如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 ${\displaystyle \ell }$,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d

${\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}}$

${\displaystyle e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}}$

d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。

令正八边形的边长为${\displaystyle \ell _{2}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {(\ell /2)^{2}+e^{2}}}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {\ell ^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-\ell ^{2}}})^{2}}}}$

设${\displaystyle \ell _{3}}$ 为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断${\displaystyle \ell _{3}}$与${\displaystyle \ell _{2}}$的迭代关系：

${\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{2})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{2})^{2}}})^{2}}}}$

推而广之：

${\displaystyle \ell _{n+1}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{n})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{n})^{2}}})^{2}}}}$

令 r=1;

${\displaystyle \ell _{1}={\sqrt {(}}2)}$

${\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {2-{\sqrt {(}}2)}}}$

${\displaystyle \ell _{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}$

${\displaystyle \ell _{4}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}$

${\displaystyle \ell _{5}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}}}$

……

圆周率

赵友钦指出，分割越细，正多边形的边数愈多，正多边形越接近圆周。

角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极

他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形，从而获得

三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇

${\displaystyle \pi ={\frac {3141.592}{1000}}}$

正多边形	圆周率近似值
4	3.121445
8	3.136548
16	3.140331
32	3.141277
64	3.141513
128	3.141572
256	3.141587
512	3.141591
1024	3.141592
2048	3.141592
16384	3.141592+

密率

南朝祖冲之发现密率：

${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}$

但这个密率比在以后数百年间，无人问津，直到赵友钦重新提及这个密率分数^[2]。

赵友钦在获得

${\displaystyle \pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}}$

后，他将 3141.592 乘以 113

以一百一十三乘之果得三百五十五尺，此为其法所以极精密也

${\displaystyle 113*\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}*113=355}$

即：

${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}$

参见

割圆术 (刘徽)

参考文献

1. 李俨 《中国数学史》 第六章《宋元数学》 144-145页 商务印书馆 1998 ISBN 978-7-100-01474-3
2. Mikami, Yoshio. The development of mathematics in China and Japan. New York: Chelsea Pub. Co. 1974: 135–136 [2022-03-22]. ISBN 978-0-8284-0149-4. OCLC 1297145. （原始内容存档于2022-03-22） （英语）.