赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始[1]。 赵友钦割圆术 赵友钦《革象新书》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影 如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 ℓ {\displaystyle \ell } ,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d d = r 2 − ( ℓ 2 ) 2 {\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}} e = r − d = r − r 2 − ( ℓ 2 ) 2 {\displaystyle e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}} d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。 令正八边形的边长为 ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} ℓ 2 = ( ℓ / 2 ) 2 + e 2 {\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {(\ell /2)^{2}+e^{2}}}} ℓ 2 = 1 2 ∗ ℓ 2 + 4 ∗ ( r − 1 2 ∗ 4 ∗ r 2 − ℓ 2 ) 2 {\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {\ell ^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-\ell ^{2}}})^{2}}}} 设 ℓ 3 {\displaystyle \ell _{3}} 为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断 ℓ 3 {\displaystyle \ell _{3}} 与 ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} 的迭代关系： ℓ 3 = 1 2 ∗ ( ℓ 2 ) 2 + 4 ∗ ( r − 1 2 ∗ 4 ∗ r 2 − ( ℓ 2 ) 2 ) 2 {\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{2})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{2})^{2}}})^{2}}}} 推而广之： ℓ n + 1 = 1 2 ∗ ( ℓ n ) 2 + 4 ∗ ( r − 1 2 ∗ 4 ∗ r 2 − ( ℓ n ) 2 ) 2 {\displaystyle \ell _{n+1}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{n})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{n})^{2}}})^{2}}}} 令 r=1; ℓ 1 = ( 2 ) {\displaystyle \ell _{1}={\sqrt {(}}2)} ℓ 2 = 2 − ( 2 ) {\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {2-{\sqrt {(}}2)}}} ℓ 3 = 2 − 2 + ( 2 ) {\displaystyle \ell _{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}} ℓ 4 = 2 − 2 + 2 + ( 2 ) {\displaystyle \ell _{4}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}} ℓ 5 = 2 − 2 + 2 + 2 + ( 2 ) {\displaystyle \ell _{5}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}}} …… 圆周率 赵友钦指出，分割越细，正多边形的边数愈多，正多边形越接近圆周。 角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极 他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形，从而获得 三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇 π = 3141.592 1000 {\displaystyle \pi ={\frac {3141.592}{1000}}} 更多信息 正多边形, 圆周率近似值 ... 正多边形 圆周率近似值 4 3.121445 8 3.136548 16 3.140331 32 3.141277 64 3.141513 128 3.141572 256 3.141587 512 3.141591 1024 3.141592 2048 3.141592 16384 3.141592+ 关闭 密率 南朝祖冲之发现密率： π ≈ 355 113 {\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}} 但这个密率比在以后数百年间，无人问津，直到赵友钦重新提及这个密率分数[2]。 赵友钦在获得 π ≈ 3141.592 1000 {\displaystyle \pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}} 后，他将 3141.592 乘以 113 以一百一十三乘之果得三百五十五尺，此为其法所以极精密也 113 ∗ π ≈ 3141.592 1000 ∗ 113 = 355 {\displaystyle 113*\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}*113=355} 即： π ≈ 355 113 {\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}} 参见 割圆术 (刘徽) 参考文献 [1]李俨 《中国数学史》 第六章《宋元数学》 144-145页 商务印书馆 1998 ISBN 978-7-100-01474-3 [2]Mikami, Yoshio. The development of mathematics in China and Japan. New York: Chelsea Pub. Co. 1974: 135–136 [2022-03-22]. ISBN 978-0-8284-0149-4. OCLC 1297145. （原始内容存档于2022-03-22） （英语）. Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
赵友钦割圆术
赵友钦《革象新书》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影
,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d
为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断与的迭代关系：
