切萨罗求和

切萨罗求和（英语：Cesàro summation）也称为切萨罗平均（Cesàro mean）^[1][2]或切萨罗极限（Cesàro limit）^[3]，是由意大利的数学家恩纳斯托·切萨罗（Ernesto Cesàro）发明，是计算无穷级数和的方式。若一级数收敛至α，则其切萨罗和存在，其值为 α，而有些发散级数也可以用切萨罗求和的方式，计算出切萨罗和。可以计算切萨罗求和的级数是切萨罗可求和的级数。

切萨罗求和可视为是一种特殊的矩阵可求和法（英语：Matrix summability method）。

切萨罗求和中的“求和”一词可能会造成误解，而有关切萨罗求和的叙述和证明也和无穷级数证明的Eilenberg–Mazur swindle（英语：Eilenberg–Mazur swindle）有关。有关切萨罗可求和级数，常被提到的是格兰迪级数，依照切萨罗求和可得其“和”为1/2^。

定义

令{a_n}为一数列，且令

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$

为数列前k项的部分和：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

若以下的条件成立，则此数列{a_n}的切萨罗和存在，且其值为α。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha }$.

格兰迪级数的例子

主条目：格兰迪级数

令 a_n = (-1)ⁿ⁺¹, n ≥ 1。因此{a_n} 为以下的数列：

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$。

其部分和组成的数列 {s_n} 为

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }$；

此数列为格兰迪级数，不会收敛。

而数列 {(s₁ + ... + s_n)/n} 的各项分别为

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }$；

当n趋近于无限大，切萨罗和为如下极限：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}$。

因此，数列 {a_n} 的切萨罗和为 1/2。

推广

切萨罗在1890年发展了更广泛的切萨罗和，表示为(C, n)，其中n为非负整数。 (C, 0) 是一般定义下的和，而(C, 1)就是上述的切萨罗和。

n>1时的(C, n) 如下所述： 对于级数Σa_n, 定义

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}$

(上面的指数不表示指数)且定义 E_n^α 为数列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 A_n^α。 则 Σa_n 的 (C, α) 和则为

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

若以上数值存在。^[4]

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

相关条目

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注解

1. Hardy, G. H. Divergent Series. Providence: American Mathematical Society. 1992. ISBN 978-0-8218-2649-2.
2. Katznelson, Yitzhak. An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover Publications. 1976. ISBN 978-0-486-63331-2.
3. Henk C. Tijms. A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons. 2003: 439. ISBN 978-0-471-49880-3.
4. Shawyer and Watson pp.16-17

参考文献

• Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.