分离变量法

数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以藉代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

常微分方程

主条目：可分离变量的微分方程

假若，一个常微分方程可以写为

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]}$ 。

设定变量 ${\displaystyle y=f(x)}$ 。那么，

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}$ ．(1)

只要是 ${\displaystyle h(y)\neq 0}$ ，就可以将方程式两边都除以 ${\displaystyle h(y)}$ ，再都乘以 ${\displaystyle dx}$ ：

${\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}}$ 。

这样，可以将两个变量 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 ${\displaystyle k}$ 。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

${\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k}$ 。

第二种方法

有些不喜欢用莱布尼茨标记（英语：Leibniz's notation）的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)}$ 。

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 ${\displaystyle x}$ 积分公式的两边，可以得到

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx}$ 。(2)

应用变量积分法，

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$ 。

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释，

实例 (I)

常微分方程式 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))}$ 可以写为

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)}$ ；(3)

其中，${\displaystyle y=f(x)}$ 。

设定 ${\displaystyle g(x)=1}$ ，${\displaystyle h(y)=y(1-y)}$ 。套用公式 (1) ，这常微分方程式是可分的。

进一步编排，则

${\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx}$ 。

变量 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ 分别在公式的两边。将两边积分，

${\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx}$ 。

积分的结果是

${\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C}$ ；

其中，${\displaystyle C}$ 是个积分常数。稍加运算，则可得

${\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}}$ 。

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 ${\displaystyle B}$ 的正值与负值。而当 ${\displaystyle y=1}$ 时，${\displaystyle B=0}$ ）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 ${\displaystyle y}$ 跟 ${\displaystyle (1-y)}$ ，必须检查两个函数 ${\displaystyle y(x)=0}$ 与 ${\displaystyle y(x)=1}$ 是否也是常微分方程式的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解（英语：singular solution） 。

实例 (II)

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle P}$ 是人口数值函数，${\displaystyle t}$ 是时间参数， ${\displaystyle k}$ 是成长的速率，${\displaystyle K}$ 环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以${\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ ．再随着时间 ${\displaystyle t}$ 积分，

${\displaystyle \int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt}$ 。

应用变量积分法，

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}$ 。

稍微运算，则可得

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$ ；

其中，${\displaystyle A}$ 是常数。

偏微分方程

主条目：可分离变量的偏微分方程

给予一个 ${\displaystyle n}$ 元函数 ${\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}$ 的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

${\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}$ ，

或者

${\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})}$ 。

时常，对于每一个自变量 ${\displaystyle x_{i}}$ ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)

假若，函数 ${\displaystyle F(x,\ y,\ z)}$ 的偏微分方程为

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0}$ 。

猜想解答为

${\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)}$ 。

那么，

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0}$ 。

因为 ${\displaystyle X(x)}$ 只含有 ${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle Y(y)}$ 只含有 ${\displaystyle y}$ 、${\displaystyle Z(z)}$ 只含有 ${\displaystyle z}$ ，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}}$ 、

${\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}}$ 、

${\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}}$ 都是常数，${\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}$ 。

偏微分方程的答案为

${\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{4}}$ 是常数。

实例 (IV)

思考一个典型的偏微分方程，

${\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0}$ 。

首先，猜想答案的形式为

${\displaystyle v=X(x)Y(y)}$ 。

代入偏微分方程，

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}$ 。

或者，用单撇号标记，

${\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0}$ 。

将方程式的两边除以 ${\displaystyle X(x)Y(y)}$ ，则可得

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}$ 。

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 ${\displaystyle k}$ ：

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}$ 。

因此，可以得到两个新的常微分方程式：

${\displaystyle X''(x)-kX(x)=0}$ 、

${\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0}$ 。

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若，${\displaystyle k<0<\lambda +k}$ ，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

${\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})}$ ，

${\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})}$ ；

其中，${\displaystyle A_{x},\ A_{y}}$ 是振幅常数，${\displaystyle B_{x},\ B_{y}}$ 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

参阅

• 拉普拉斯-龙格-冷次向量
• 哈密顿-雅可比方程
• 亥姆霍兹方程

参考文献

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。