分布式参数系统

分布式参数系统（distributed parameter system）不同于集总参数系统，是状态空间为无限维度的系统。这类系统也称为是无限维系统。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系统。以下段落所探讨的会以线性非时变分布式参数系统为主。

抽象发展方程

离散时间

假设U、X和Y是希尔伯特空间，而${\displaystyle A\,}$ ∈ L(X), ${\displaystyle B\,}$ ∈ L(U, X), ${\displaystyle C\,}$ ∈ L(X, Y) 和${\displaystyle D\,}$ ∈ L(U, Y)，以下方程可确定一个离散时间的线性非时变系统：

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

其中${\displaystyle x\,}$（状态）是序列，其值在X内，${\displaystyle u\,}$（输入或是控制）是序列，其值在U内，${\displaystyle y\,}$（输出）为序列，其值在Y内。

连续时间

连续时间的例子类似离散时间，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

接下来复杂的部分就是将实际的问题（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是强制使用无界算子。一般会假定A状态空间X里的C0半群（英语：strongly continuous semigroup）。假定B、C和D是有界算子，允许包括多待分析的实际的例子^[1]，不过有些实际的例子也会假定B和C是无界的。

例子：偏微分方程

${\displaystyle t>0}$及${\displaystyle \xi \in [0,1]}$的偏微分方程如下

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L²(0, 1)，A算子定义为:${\displaystyle Ax=-x',D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.}$ 可以证明^[2]A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为

${\displaystyle Bu=u,Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,D=0}$

例子：时滞微分方程

时滞微分方程

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L²(−τ, 0)复数的乘积，A算子定义为

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.}$

可以证明^[3]A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,D=0.}$

传递函数

分布式参数系统的传递函数和有限维度下的情形相同，都是利用拉氏转换（连续时间）或是Z转换（离散时间）来定义。不过有限维度下的传递函数是真分式的有理函数，而无限维度的传递函数会是无理函数（不过仍然是全纯函数）。

离散时间

离散时间的传递函数可以用状态空间参数，表示为以下的形式${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$，函数在圆心为原点的圆盘内是全纯的^[4]。若1/z在A的resolvent set内（可能是另一个以圆心为原点，较小的圆盘），则传递函数为${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$。任何在零点为全纯的函数都有对应的离散系统，使该函数为离散系统的传递函数。

连续时间

若A可产生强连续半群，且B、C及D为有界算子^[5]，则传递函数可以用状态空间参数表示为${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$，其中s的实部比A产生半群的指数成长上界要大。在更广泛的情形下，上述公式不一定有意义，不过上述公式适当推广后的版本仍然会有效^[6]。

若要得到传递函数的简单表示式，较理想的方式是将微分方式进行拉氏转换，而不是用状态空间中的参数来表示。

偏微分方程的传递函数

令初始条件${\displaystyle w_{0}}$为0，将对t进行过拉氏转换的函数用大写表示，可以将偏微分方程转换为以下的形式

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

这是非齐次线性微分方程，变数为${\displaystyle \xi }$，s为参数，且初始条件为零。其解为${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$。用此式来代入有Y 的方式中并且积分，可以得到${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$，因此传递函数为${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$。

时滞微分方程的传递函数

类似上述偏微分程的例子，时滞微分方程的传递函数为^[7] ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$。

可控制性

在有限维的系统中，可控制性的定义只有一种，但无限维的系统中，有几种不相容的可控制性定义。以下是最重要的三种：

• 精确可控制性（Exact controllability）
• 近似可控制性（Approximate controllability）
• 零可控制性（Null controllability)

离散时间下的可控制性

在离散时间系统中，将所有U值序列的集合映射到X的映射${\displaystyle \Phi _{n}}$相当的重要，其表示式为${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$。${\displaystyle \Phi _{n}u}$是初始条件为零时，给定输入序列u下达到的状态。The system is called

• 系统在时间n内为精确可控制（exactly controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值域为X。
• 系统在时间n内为近似可控制（approximately controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值域是X内的稠密集。
• 系统在时间n内为零可控制（null controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值包括Aⁿ的值域。

连续时间下的可控制性

在连续时间系统中，${\displaystyle \Phi _{t}}$（表示为${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$）有和离散时间系统的${\displaystyle \Phi _{n}}$一样重要的角色。不过，控制函数所在的空间也会影响定义。一般的选择是L²(0, ∞;U)，是在(0, ∞)区间内U值平方可积函数的（等效）空间，不过也有其他的定义，例如L¹(0, ∞;U)。当${\displaystyle \Phi _{t}}$的定义域选定之后，有以下几种不同的可控制性^[8]。

• 系统在时间t内为精确可控制（exactly controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值域为X。
• 系统在时间t内为近似可控制（approximately controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值域为X内的稠密集。
• 系统在时间t内为零可控制（null controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值包括${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$的值域。

可观察性

就如同有限维度下的情形一样，无限维度的可观察性也是可控制性的对偶概念。无限维度有很多种的可观察性定义，最重要的三个如下：

• 精确可观察性（exactly observable），也称为连续可观察性（continuous observability）
• 近似可观察性（approximately observable）
• 最终状态可观察性（final state observable）

离散时间下的可观察性

在离散时间系统的可观察性中，${\displaystyle \Psi _{n}}$（将X映射到所有Y值序列空间的映射，若k ≤ n，表示为${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$，在k > n时，数值为0)。意思是${\displaystyle \Psi _{n}x}$是初始条件x，控制输入为0时的truncated output。有以下几种可观察性

• 在时间n有精确可观察性（exactly observable），若存在 k_n > 0 ，使得　${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$，在所有 x ∈ X 时都成立
• 在时间n有近似可观察性（approximately observable），若${\displaystyle \Psi _{n}}$为单射
• 在时间n有最终状态可观察性（final state observable），若存在 k_n > 0 使得${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$，在所有 x ∈ X 时都成立

连续时间下的可观察性

在连续时间系统的可观察性中，${\displaystyle \Psi _{t}}$（表示为${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$，其中s∈[0,t]，若s>t时为零）的角色和${\displaystyle \Psi _{n}}$在离散时间系统中的相当。不过运算子作用的函数空间也会影响其定义。常见的选择是L²(0, ∞, Y)，是（等效于）在定义域(0,∞)内的Y-值平方可积函数，不过也可以选择其他的函数空间，例如L¹(0, ∞, Y)。只要选择了${\displaystyle \Psi _{t}}$的辅域，就可以定义不同的可观察性，有以下几种可观察性^[9]：

• 在时间t有精确可观察性（exactly observable），若存在k_t > 0，使得${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$，在所有 x ∈ X 时都成立
• 在时间t有近似可观察性（approximately observable），若${\displaystyle \Psi _{t}}$为单射
• 在时间t有最终状态可观察性（final state observable），若存在 k_t > 0 使得${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$ ，在所有x ∈ X 时都成立

可控制性和可观察性的对偶

和有限维度下的情形类似，可控制性和可观察性也是对偶的概念（若${\displaystyle \Phi }$域以及辅域${\displaystyle \Psi }$都选用一般的函数空间L²时），这些不同概念的对偶如下^[10]：

• 精确可控制性 ↔ 精确可观察性。
• 近似可控制性 ↔ 近似可观察性。
• 零可控制性 ↔ 最终状态可观察性。

相关条目

• 控制理论
• 状态空间

脚注

1. Curtain and Zwart
2. Curtain and Zwart Example 2.2.4
3. Curtain and Zwart Theorem 2.4.6
4. This is the mathematical convention, engineers seem to prefer transfer functions to be holomorphic at infinity; this is achieved by replacing z by 1/z
5. Curtain and Zwart Lemma 4.3.6
6. Staffans Theorem 4.6.7
7. Curtain and Zwart Example 4.3.13
8. Tucsnak Definition 11.1.1
9. Tucsnak Definition 6.1.1
10. Tucsnak Theorem 11.2.1

参考资料

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995
• Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009
• Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007