凹凸性 (几何)

在几何学中，一个几何图形可分为凸或凹的。例如多边形和多面体。其中，凸的多边形称为凸多边形、凹的多边形则可称为凹多边形或非凸多边形，多面体与多胞体亦然。然而在三维或更高维度的空间中，不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形，亦可能是星形几何图形，因此在三维或更高维度的空间中较常分为凸与非凸。

凸几何图形

凸几何图形是指内部为凸集的几何图形^[1]，二维空间中的凸几何图形称为凸多边形、三维空间则称凸多面体。若一多胞形的内部为凸集，则称凸多胞形。

二维空间中的凸几何图形称为凸多边形，简单多边形的下列性质与其凸性等价：

• 每个内角小于180度。
• 任何两个顶点间的线段位于多边形的内部或边界上。

凸几何图形的凸包与其边界相同。

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  凸多边形示例：正五边形
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  凸多面体示例：正十二面体

凹几何图形

凹几何图形是指内部不是凸集的几何图形，在二维空间中，不是凸集的简单多边形，称为凹多边形（Concave polygon）^[2]或凹角^[3]。

凹多边形至少存在一个内角大于180度。

在三维空间中，不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形，亦可能是星形多面体，因此在三维空间中较常分为凸与非凸。

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  凹多边形示例
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  凹多面体示例：凹筝形柱
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  环形多面体

严格凸与非严格凸

非严格凸的正三角锥反角柱，其由一个正三角锥和一个三角反角柱组成，上方的三角锥侧面与三角反角柱侧面共面，而非严格小于180度。

如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度，是严格凸的；如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部，也是严格凸的。

所有非退化三角形都是严格凸的。

星形几何图形

星形几何图形是非凸几何图形的一个特例，其并未有一个明确的定义。在二维空间中，称为星形多边形，数学家Branko Grünbaum指出了两种由克普勒提出的定义：一种是具有自相交棱的正星形多边形，且自相交的棱不产生新的顶点，另一种是边可递的简单凹多边形^[4]。

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  星形多边形示例：五角星
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  星形多面体示例：大十二面体

参见

• 凹多边形
• 凸多边形

参考文献

1. Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. （原始内容存档于2017-10-17）.
2. McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502.
3. Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], （原始内容存档于2016-03-25）.
4. Grünbaum & Shephard 1987，section 2.5 harvnb模板错误: 无指向目标: CITEREFGrünbaumShephard1987 (帮助)

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Convex polygon. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Concave polygon. MathWorld.