凯莱定理

在群论中，凯莱定理（英语：Cayley's Theorem）声称所有群 ${\displaystyle G}$ 都与在 ${\displaystyle G}$ 上的对称群 ${\displaystyle S_{G}}$ 的一个子群同构。这代表我们可以将 ${\displaystyle G}$ 的群运算视为在 ${\displaystyle G}$ 的元素上的群作用。该定理以英国数学家阿瑟·凯莱命名。

集合 ${\displaystyle G}$ 的置换是任何从 ${\displaystyle G}$ 到 ${\displaystyle G}$ 的双射函数。由所有置合构成集合与函数复合共同构成了一个群，称为“ ${\displaystyle G}$ 上的对称群”，并记为 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$。

凯莱定理通过把任何群（包括无限群，如 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$）都当作某个底层集合的置换群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对置换群成立的定理对于一般群也成立。

历史

Burnside^[1] 将其归功于Jordan^[2]，但是 Eric Nummela^[3]争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文^[4]中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的证明

令 ${\displaystyle G}$ 为一个群，由逆元的唯一性可以得出对于任何 ${\displaystyle G}$ 中元素 ${\displaystyle g}$ ，有 ${\displaystyle g\cdot G=G}$ ，以及 ${\displaystyle gx=gy\iff x=y}$ 其中 ${\displaystyle \iff }$ 是逻辑关系当且仅当的记号。所以左乘 ${\displaystyle g}$ 充当了双射函数 ${\displaystyle f_{g}:G\rightarrow G}$ ，其定义为 ${\displaystyle f_{g}(x)=g\cdot x}$。所以， ${\displaystyle f_{g}}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的置换，并因此是 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 的一个元素。

如下定义 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 的子集 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=\{f_{g}\mid g\in G;}$ 并且对所有${\displaystyle x\in G}$ 有 ${\displaystyle f_{g}(x)=g\cdot x\}}$

${\displaystyle K}$ 是同构于 ${\displaystyle G}$ 的一个子群。得出这个结果的最快方式是考虑函数 ${\displaystyle T:G\rightarrow {\text{Sym}}(G)}$ ， ${\displaystyle T(g)=f_{g}}$ 。(对 ${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 中的复合使用"·")， ${\displaystyle T}$ 是一个群同态，这是因为所有 ${\displaystyle G}$ 中的 ${\displaystyle x}$ ，有

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h\cdot x)=g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x=f_{g\cdot h}(x)}$

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g\cdot h}=T(g\cdot h)}$

同态 ${\displaystyle T}$ 也是一个单射，因为 ${\displaystyle T(g)=id_{G}}$ （${\displaystyle {\text{Sym}}(G)}$ 中的单位元）蕴含了对于所有 ${\displaystyle G}$ 中使得 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ 的 ${\displaystyle x}$ 。选取x为G的单位元e产生g = g*e = e。

另一个 ${\displaystyle T}$ 为单射的证明是因为可以从 ${\displaystyle g\cdot x=g\cdot x'}$ 推出 ${\displaystyle x=x'}$ 。

因此 ${\displaystyle G}$ 同构于 ${\displaystyle T}$ 的像，即子群 ${\displaystyle K}$ 。

${\displaystyle T}$ 有时叫做 ${\displaystyle G}$ 的正规表示。

另一个的证明

另一个证明使用了群作用的概念。考虑群${\displaystyle G}$为G-集合，可以证明它有置换表示${\displaystyle \phi }$。

首先假设${\displaystyle G=G/H}$带有${\displaystyle H=\{e\}}$。则根据G-轨道分类这个群作用是${\displaystyle g.e}$（也叫做轨道-稳定集定理）。

现在这个表示是忠实的，如果${\displaystyle \phi }$是单射，就是说，如果${\displaystyle \phi }$的核是平凡的。假设${\displaystyle g}$ ∈ ker ${\displaystyle \phi }$，则${\displaystyle g=g.e=\phi (g).e}$，通过置换表示和群作用的等价性。但是因为${\displaystyle g}$ ∈ ker ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \phi (g)=e}$并因此ker ${\displaystyle \phi }$是平凡的。则im ${\displaystyle \phi <G}$并因此利用第一同构定理得出结论。

对正规群表示的注记

单位元对应于恒等置换。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的置换。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的置换：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。

正规群表示的例子

Z₂ = {0,1}带有模2加法，群元素0对应于恒等置换e，群元素1对应于置换 (12)。

Z₃ = {0,1,2}带有模3加法；群元素0对应于恒等置换e，群元素1对应于置换 (123)，而群元素2对应于置换 (132)。比如1 + 1 = 2对应于 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3}带有模4加法；它的元素对应于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克莱因四元群{e, a, b, c}的元素对应于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S₃（6阶二面体群）是三个对象的所有置换的群，但也是6个群元素的置换群：

*	e	a	b	c	d	f	置换
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

引用

1. Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order 2, Cambridge, 1911
2. Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870
3. Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, 1980, 87 (3): 202–203
4. Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1, Phil. Mag., 1854, 7 (4): 40–47

参见

• 米田引理