全概率定理

全概率定理(Law of total probability)，假设{ B_n : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割（既 B_n为一完备事件组），且每个集合B_n是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,}$

又因为

${\displaystyle \Pr(A\cap B_{n})=\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),}$

此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率，所以全概率公式又可写作：

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}).\,}$

全概率公式将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况或不同原因 B_n下发生的简单事件的概率的求和问题。

条件概率的期望

在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：

${\displaystyle \Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))}$

此处N是任意随机变量。

这个公式还可以表达为：

"A的先验概率等于A的后验概率的事前期望。

参见

• 双重期望定理
• 全方差定理
• law of total cumulance