数学上,克罗内克积(英语:Kronecker product)是两个任意大小的矩阵间的运算,表示为⊗。简单地说,就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广,也是张量积在标准基下的矩阵表示。
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线性代数
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尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人,克罗内克积还是以其名字命名。在历史上,克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵。
如果A是一个 m × n 的矩阵,而B是一个 p × q 的矩阵,克罗内克积则是一个 mp × nq 的分块矩阵
更具体地可表示为
我们可以更紧凑地写为
- .
克罗内克积是张量积的特殊形式,因此满足双线性与结合律:
其中,A, B 和 C 是矩阵,而 k 是常量。
克罗内克积不符合交换律:通常,A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。
A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的,也就是说,存在排列矩阵P和Q,使得
如果A和B是方块矩阵,则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的,也就是说,我们可以取P = QT。
如果A、B、C和D是四个矩阵,且矩阵乘积AC和BD存在,那么:
这个性质称为“混合乘积性质”,因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出,A B是可逆的当且仅当A和B是可逆的,其逆矩阵为:
假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1,……,λn为A的特征值,μ1,……,μq为B的特征值。那么A B的特征值为:
于是可以推出,两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为:
如果A和B是长方矩阵,那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有rA个非零的奇异值,它们是:
类似地,设B的非零奇异值为:
那么克罗内克积A B有rArB个非零奇异值,它们是:
由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目,因此我们有:
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地,如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye},且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y,那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y,关于V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的类似基。[1]
两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和,则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见[2]第96个练习的答案。
克罗内克积转置运算符合分配律:
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如,考虑方程AXB = C,其中A、B和C是给定的矩阵,X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
这样,从克罗内克积的性质可以推出,方程AXB = C具有唯一的解,当且仅当A和B是非奇异矩阵。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).
在这里,vec(X)表示矩阵X的向量化,它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。
如果把X的行堆起来,形成列向量x,则也可以写为 (Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6.
- Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9.