赝张量

物理学与数学中，赝张量（英语：pseudotensor）为在坐标变换等情形下，行为类似张量的数量。但在空间反演、瑕旋转时会多出负号，张量则不会。

赝张量的另一个意义出现在广义相对论中：张量遵守严格的变换律，而赝张量不是。也因此，当变换参考系时，赝张量的形式一般来说无法保持不变；一个含有赝张量的方程在一个参考系成立，在另个参考系就不见得成立。细节参见：广义协变性。

定义

数学中的赝张量

在做镜射时，赝张量会多出一个负号，而张量不会。根据定义，类型(p,q)的赝张量P是个几何物体，其分量以任意基底展开，可以指标(p + q)来写出，其遵守变换规则：

${\displaystyle {\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}}=(-1)^{A}A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{q}}{}_{k_{q}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{p}}{}_{j_{p}}P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}}$

式子两边采用不同基底。^[1][2][3]

这里${\displaystyle {\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}},P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}}$是赝张量的分量，分别以新、旧基底写出；${\displaystyle A^{i_{q}}{}_{k_{q}}}$是逆变指标的变换矩阵（transition matrix），${\displaystyle B^{l_{p}}{}_{j_{p}}}$是协变指标的变换矩阵。

而${\displaystyle (-1)^{A}=\mathrm {sign} (\det(A^{i_{q}}{}_{k_{q}}))=\pm {1}}$；此变换规则与寻常张量歧异处在(−1)^A。

广义相对论中的赝张量

广义相对论中，重力场自身的能量、动量无法以能量-动量张量来描述，而需引入一个物理量，其在受限的坐标变换中行为类似张量。此即赝张量的例子，其中较著名的为蓝道-利夫希茨赝张量（英语：Landau-Lifshitz pseudotensor）。

相关条目

• 赝向量
• 赝标量

参考文献

1. Sharipov, R.A. (1996). Course of Differential Geometry, Ufa:Bashkir State University, Russia, p. 34, eq. 6.15. ISBN 5-7477-0129-0 [arXiv:math/0412421v1]
2. Lawden, Derek F. (1982). An Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology. Chichester:John Wiley & Sons Ltd., p. 29, eq. 13.1. ISBN 0-471-10082-X
3. Borisenko, A. I. and Tarapov, I. E. (1968). Vector and Tensor Analysis with Applications, New York:Dover Publications, Inc. , p. 124, eq. 3.34. ISBN 0-486-63833-2