沿着一个加速中观测者的世界线 所看到的时空 。 纵轴为时间,横轴为距离,虚线为观测者在时空中的轨迹。图的下半部是已经发生了的事件,上半部则是未来的事件。图中小点为时空中的事件。 世界线的斜率为观测者的相对速率。注意观测者在加速时所看到的时空会进行错切 。
伽利略变换可以唯一写成由时空的旋转、平移和匀速运动复合 而成的函数。[ 8] 设x 为三维空间中的一点,t 为一维时间中的一点。时空当中的任何一点可以表达为有序对 (x ,t )。速度为v 的匀速运动表达为
(
x
,
t
)
↦
(
x
+
t
v
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}
,其中v 在R 3 内。平移表达为
(
x
,
t
)
↦
(
x
+
a
,
t
+
b
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}
,其中a 在R 3 内,b 在R 内。旋转表达为
(
x
,
t
)
↦
(
G
x
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}
,其中G : R 3 → R 3 为某正交变换 。[ 8] 作为一个李群 ,伽利略变换的维度为10。[ 8]
这三种变换可更加数学化地表达为伽利略群[ 9] 。首先G为SO(3)中的旋转矩阵,3维内积在G的作用下保持不变,表达为:
<
G
x
→
,
G
y
→
>=<
x
→
,
y
→
>
{\displaystyle <G{\overrightarrow {x}},G{\overrightarrow {y}}>=<{\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}>\,\!}
设在某t时刻有映射
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}
将空间上的某一点x映射到另一点
G
x
→
+
a
→
+
b
→
⋅
t
{\displaystyle G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}
上。可证得
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
构成一个群。
结合律:
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
为线性映射,线性映射满足结合律。
单位元:
φ
t
(
0
→
,
0
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}}
逆映射:
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
−
1
=
φ
t
(
−
G
−
1
a
→
,
−
G
−
1
b
→
,
G
−
1
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)^{-1}=\varphi _{t}(-G^{-1}{\overrightarrow {a}},-G^{-1}{\overrightarrow {b}},G^{-1})}
封闭性:
φ
t
(
a
′
→
,
b
′
→
,
G
′
)
∘
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
(
x
→
)
=
G
G
′
x
→
+
(
G
′
a
→
+
a
′
→
)
+
(
G
b
→
+
b
′
→
)
⋅
t
=
φ
t
(
G
′
a
→
+
a
′
→
,
G
b
→
+
b
′
→
,
G
G
′
)
(
x
→
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{t}({\overrightarrow {a'}},{\overrightarrow {b'}},G')\circ \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)({\overrightarrow {x}})=GG'{\overrightarrow {x}}+(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}})+(G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}})\cdot t\\=\varphi _{t}(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}},G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}},GG')({\overrightarrow {x}})\end{aligned}}}
对应的有:
空间平移:
φ
t
(
a
→
,
0
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
+
a
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}}
速度变换:
φ
t
(
0
→
,
b
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
+
b
→
⋅
t
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {b}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}
空间旋转:
φ
t
(
0
→
,
0
→
,
G
)
(
x
→
)
=
G
x
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},G)({\overrightarrow {x}})=G{\overrightarrow {x}}}
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}
为不含时伽利略群,加上时间平移
t
↦
t
+
t
0
{\displaystyle t\mapsto t+t_{0}}
后映射
(
x
→
,
t
)
↦
(
φ
t
,
t
+
t
0
)
=
(
G
x
→
+
a
→
+
b
→
⋅
t
,
t
+
t
0
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {x}},t)\mapsto (\varphi _{t},t+t_{0})=(G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t,t+t_{0})}
构成一个完整伽利略群,其依旧满足群的性质。完整伽利略群具有10个生成元,分别为3个空间平移(x,y,z),3个空间转动(对应3个坐标基矢),3个速度,以及一个时间平移。