设
和
皆是度量空间,我们说函数
一致连续,这代表对任意的
,存在
,使得定义域中任意两点
只要
,就有
。
当
和
都是实数的子集合,
和
为绝对值
时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的
,存在
,使得对任意两点
,都有
,则称函数
在
上一致连续。
一致连续跟在每点连续最大的不同在于:在一致连续定义中,正数
的选择只依赖
这变数,而不依赖定义域上点的位置。
证明:
设函数
,
为紧致度量空间,
为度量空间。
假设
不是一致连续的,则存在一个
,对于任意
都存在
满足条件
并且
。
因为
为紧致度量空间,
是序列紧致的,所以存在一个
的收敛子序列
,设其收敛到
。
,所以
。
因为
连续,
,矛盾,定理得证。
一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。